命題9
同じ直線に平行であるがそれと同じ平面にはない２つの直線はまた、互いに平行である。
２直線ABとCDは互いにEFに平行である。しかし、それとは同じ平面上にはないABはCDに平行であることをいう。
EF上に任意に点Gをとり、それからEFに垂直でEFとABを通る平面上にGHをかき、FDとCDを通る平面上のGKもまたEFに垂直だとする。
今、EFは２直線GHとGKそれぞれに垂直であるから、EFはまた、GKとGHを通る平面にも垂直である。
そして、EFはABに平行であるので、ABはまた、HGとGKを通る平面にも垂直である。
同じ理由からCDもまたHGとGKを通る平面に垂直である。よって２直線ABとCDはそれぞれHGとGKを通る平面に垂直である。
しかし、もし２直線が同じ平面に垂直だとすると、そのとき２直線は平行である。従ってABはCDに平行である。
従って、同じ直線に平行であるがそれと同じ平面にはない２つの直線はまた、互いに平行である。
証明終了