命題１２
相似な円錐と円柱は
,お互いの底面にある直径の三乗の比率となる.
円
ABCDと円EFGHを底面とし,その直径をBD,FHとし,KL,MNをそれそれの軸とする円錐と円柱があったとする.円ABCDを底面とし,点Ｌを頂点とする円錐は,円EFGHを底面とし,点Nを頂点とする円錐に対して,BDがFHに対する三乗の比率となることを求める.もし,円錐ABCDLが円錐EFGHNに対して,BDがFHに対する三乗の比率を持ってないとすると,円錐ABCDLは円錐EFGHNより,小さいか,あるいは大きい比率をもつ立体に対することになる.最初に,三乗の比率より,小さい立体Oに対するとし,円EFGHに正方形EFGHを内接させる.そのために,正方形EFGHは,円EFGHの半分より大きい.正方形EFGHの上に,円錐と同じ高さの角錐をつくる.そのために,つくられた角錐は,円錐の半分より大きい.円周EF,FG,GH,HEが点Ｐ,Ｑ,Ｒ,Ｓで２等分し,EP,PF,FQ,QG,GR,RH,HS,SEを結ぶ.そのために,三角形EPF,FQG,GRH,HSEのそれぞれは,円EFGHのそれぞれを含む切片の半分より同じく大きい.三角形EPF,FQG,GRH,HSEの上に円錐と同じ頂点をもつ角柱をつくる.そのために,つくられた角柱はそれぞれの円錐の,それらを含む切片の半分より大きい.残っているものを,直線を結び,三角形のそれぞれの上に円錐と同じ頂点を持つ角錐を作り,そしてこれを繰り返すと,円錐EFGHNから立体Oを引いた差より小さい,円錐の何か小さいものが残るであろう.残ったものを,EP,PF,FQ,QG,GR,RH,HS,SEの上のものとする.そのために,多角形EPFQGRHSを底面とし,頂点Nとする残りの角錐は,立体Nより大きい.円ABCDに多角形EPFQGRHSと類似であり,相似な位置にある多角形ATBUCVDWを内接させ,そして,多角形ATBUCVDWの上に円錐と同じ高さの角錐を作る。多角形ATBUCVDWを底面とし,点Lを頂点とする角錐を囲む三角形の１つをLBTとし,そして,多角形EPFQGRHSを底面とし,点Nを頂点とする角錐を囲む三角形の１つをNFPとする. KTとMPを結ぶ.今,円錐ABCDLが円錐EFGHNと相似なので,BDがFHに対するように,軸KLが軸MNに対する.けれども,BDがFHに対するように,BKがFMに対する.そのために,KLがFMに対するように,BK がMNに対する.そして,言いかえると,BKがKLに対するように,FMがMNに対する.そして,角BKL,FMNは等しい辺にはさまれている.そのために,三角形BKLは,三角形FMNと相似である.また,BKがKTに対するように,FMがMPに対する.そして,等しい角BKT,FMPをはさむ.それは,角BKTが中心Kにおける４直角であり,角FMPも中心Mにおいて４直角となっているからである.そして,角が等しい辺にはさまれているので,三角形BKTは,三角形FMPと類似である.また,BKがKLに対するように,FMがMNに対し,BKがKTに対し,FNがPMに対し等しいことは,証明された.そのために,TKがKLに対するように,PMがMNに対する.そして,角TKLと角PMNをはさむ辺は比例する.なぜならば,それらの角は,直角であるからである.そのために,三角形LKTは,三角形NMPと類似である.そして三角形LKBと三角形NMFは類似である.そのために,FMがBKに対するように,NFがFMに対する.そして,三角形BKTと三角形FMPは,類似である.そのために,KBがBTに対するように,MFがFPに対する.そのために,等間隔比より,FMがBTに対するように,NFがFPに対する.また,三角形LTKとNPMが類似である.そのために,LTがTKに対するように,NPがPMに対する.そして,三角形TKBと三角形PMFが類似である.そのために,KTがTBに対するように,MPがPFに対する.そのために,等間隔比により,LTがTBに対するように,NPがPFに対する. けれども,TBがBLに対するように,PFがFNに対することは,同じく証明された.そのために,等間隔比により,TLがFMに対するように,PNがNFに対する.そのために,三角形LTBと三角形NPFの辺は比例している.そのために,三角形LTBと三角形NPFは等角である.そのため,それらは,相似である.そのために,三角形BKTを底面とし,点Lを頂点とする角錐は,三角形FMPを底面とし,点Nを頂点とする角錐と相似である.なぜなら,それらは,等しい類似の平面に囲まれているからである.三角形を底面とする,相似な角錐はそれらの対応する辺の三乗の比率となる.そのために,角錐BKTLは,角錐FMPNに対して,BKがFMに対する三乗の比率となる.同様に,ＫとＡ,Ｗ,Ｄ,Ｃ,Uを結び,そしてＥ,Ｓ,Ｈ,Ｒ,Ｇ,ＱとＭを結ぶ.そして三角形のそれぞれの上に,円錐と同じ頂点を持つ角柱を作り,相似な位置にある角柱は,対応する辺,つまり,BDとFH,BKがFMに対して三乗の比率を持つことを証明する.そして,前者の１つが後者の１つに対するように,前者の和は後者の和に対する.そのために,角錐BKTLが角錐FMPNに対するように,多角形ATBUCVDWを底面とし,点Lを頂点とする角錐全体が多角形EPFQGRHSを底面とし,点Nを頂点とする角錐に対する.よって,多角形ATBUCVDWを底面とし,点Lを頂点とする角錐全体が多角形EPFQGRHSを底面とし,点Nを頂点とする角錐対するように,BDがFHに対する.円形ABCDを底面とし,点Lを頂点とする円錐は立体Oに対して,BDがFHに対する三乗の比率を持つと思われる.そのために,円ABCDを底面とし,点Lを頂点とする円錐が,立体Oに対するように,多角形ATBUCVDWを底面とし,点Lを頂点とする角錐が,多角形EPFQGRHSを底面とし,点Nを頂点とする角錐に対する.そのために,言いかえると,円ABCDを底面とし,点Lを頂点とする円錐は,その中にある多角形ATBUCVDWを底面とし,点Lを頂点とする角錐に対するように,立体Oが多角形EPFQGRHSを底面とし,点Nを頂点とする角錐に対する.しかし,円錐は,その中にある角錐より大きい.なぜなら,それは含まれているからである.そのために,立体Oは,多角形EPFQGRHSを底面とし,点Nを頂点とする角錐より大きい.けれども,それは同じく小さくもある.そしてそれは不可能である.そのために,円ABCDを底面とし,点Ｌを頂点とする円錐は円EFGHを底面とし,点Nを頂点とする角錐に対して,BDがFHに対するように,三乗の比率となる.同様に,円錐ABCDLが円錐EFGHNに対するように,FHがBDに対するように,三乗より小さい比率の立体に対することがないことを,証明することができる.また,円錐ABCDLが円錐EFGHNより大きい立体に対して,BDがFHに対するように,三乗の比率を持つことはないことを証明する.もし可能であるなら,大きい立体Oにそれを対応させるとする.そのために,逆に,立体Oは円錐ABCDLに対して,FHがBDに対する三乗の比率を持つとする.けれども,立体Oが円錐ABCDLに対するように,円錐EFGHNが円錐ABCDLより小さい立体に対する.しかし,円錐EFGHNが円錐ABCDLより小さい立体に対して,FHがBDに対して三乗の比率をもつことが不可能であると証明された.そのために,円錐ABCDLは円錐EFGHNより大きい立体に対して,BDがFHに対する三乗の比率を持っていない。けれどもまた,円錐EFGHNより小さい立体に対して,三乗の比率を持っていないことが証明された.そのために,円錐ABCDLは円錐EFGHNに対し,BDがFHに対する三乗の比率となる。ところが,円錐が円錐に対するように,円柱が円柱に対する.なぜなら,円錐と同じ底面で,等しい高さの円柱は三倍であるからである.よって.円柱も円っ中に対し,BDがFHに対する三乗の比率となる.相似な円錐と円柱は,お互いの底面に対する直径の三乗の比率となる.証明終了