命題８
三角形を底面とする相似な角錐は
,それらの対応する辺の三乗の比率となる.
三角形
ABCとDEFを底面とし,点G,Hを頂点とする角錐で,そこに類似で、そして相似な位置にあるとする.角錐ABCGは角錐DEFHに対し,BCがEFに対して,三乗の比とする.平行六面体BGMLとEHQPを完結されたとする.今,角錐ABCGは角錐DEFHと相似であるから,角ABCは角DEFと等しく,角GBCは角HEFと等しく,角ABGは角DEHと等しい.そして,ABがDOに対するように,BCがEFに対する.そして,BGがEHにも対する.そして,ABがDOに対するように,BCがEFに対し,辺が等しい角をはさんであるので,平行四辺形BMは平行四辺形EQと相似である.同じ理由のために,BNはERと,BRはEOと類似である.そのために,３つの平行四辺形MB,BK,BNは,EQ,EO,ERと類似である.けれども,３つの平行四辺形MB,BK,BNは相似であり,そしてそれらの３つの対面にも相似である.そして３つのEQ,EO,ERはそれらの３つの対面に等しく,相似である.そのために,立体BGMLとEHQPは,多数で等しい類似の平面に囲まれている.そのために,立体BGMLは立体EHQPと相似である.よって,類似な正六面体は,それらの対応する辺の三乗の比率となる.そのために,立体BGMLは立体EHQPは,辺BCが対応する辺EFに対する三乗の比率となる.けれども,立体BGMLが立体EHQPに対するように,角錐ABCGが角錐DEFHに対する.なぜならば,平行六面体の半分である角柱は角錐の三倍であるので,角錐は,立体の６分の１である.そのために,角錐ABCGは,角錐DEFHに対し,辺BCが辺EFに対して,三乗の比率をもつ.
系
これから多角形を底面にもつ類似な角錐は
,互いにそれらの対応する辺の三乗の比率であることは明確である.なぜなら,底面の相似な多角形が同じ個数の,多角形全体と同じ比率をなす.相似な三角形に分けられることによって,もとの角錐がそのうちに含まれる.三角形を底面とする角錐に分けられるとき,一方の角錐に含まれる三角形を底面とする１つの角錐が,他方の角錐に含まれる三角形を底面とする１つの角錐に対するように,一方の角錐に対するように,一方の角錐に含まれる三角形を底面とするすべての角錐の和が,他方の角錐に含まれる三角形を底面とするすべての角錐の和に対する.すなわち,多角形を底面とする角錐が多角形を底面とする角錐に対する.ところが,三角形を底面とする角錐は三角形を底面とする角錐に対し,対応する辺の三乗の比率を持つ。よって,多角形を底面にもつ類似な角錐は,互いにそれらの対応する辺の三乗の比率である.証明終了