命題４
第１の量は第２に同じ比を持ち、同じように第３は第４に同じ比を持つならば、第１と第３の同倍数は第２と第４のそれぞれの同倍数に同じ比を持つ。
第１の量Aが第２の量Bに対し第３の量Cが第４の量Dに対すると同じ比を持ち、EとFの同数倍をAとCからとられ、GとHを他の任意のBとDの同数倍であるとする。
EはGに対し同じようにFはHに対することをいう。
EとＦの同数倍KとL、GとHの他の任意の同数倍MとNを取る。
EはAの同倍数でありFはCの同倍数であり、EとFの同数倍KとLが取られるから、それゆえにKはAの同倍数でありLはCの同倍数である。同じ理由でMはBの同倍数でありNはDの同倍数である。 propositionⅤ．３
そして、AがBに対すると同じようにCがDに対し、KとLの同数倍はAとCから取られ、他の任意の同数倍MとNはBとDから取られたから、それゆえにKがMより大きいならば、LはNより大きい。等しいならば等しい。そして少ないならば少ない。definitionⅤ．５
そして、KとLがEとFの同数倍で、MとNは他の任意のGとHの同数倍であり、それゆえにEはGに対すると同じようにFはHに対する。definitionⅤ．５
それゆえに、第１の量は第２に同じ比を持ち、同じように第３は第４に同じ比を持つならば、第１と第３の同倍数は第２と第４のそれぞれの同倍数に同じ比を持つ。
証明終了