命題7

等しい量は同じ量に同じ比をもち、同じ量は等しい量に同じ比を持つ。

AとBを等しい量としCを任意の量とする。

それぞれの量AとBがCに対して同じ比を持ち、Cがそれぞれの量AとBに対して同じ比を持つことをいう。

AとBの同倍数DとEをとり、Cの任意の倍数Fをとる。

DはAの同じ倍数でありEはBの同じ倍数であり、AはBと等しいから、それゆえにDはEと等しい。

しかしFは他の任意の量である。それゆえにDがFより多いならば、EもまたFより多い。等しいならば等しい。少ないならば少ない。

そしてDとEはAとBの同倍数であり、Fが他の任意のCの倍数であるとき、それゆえにAはCに対し同じようにBはCに対する。definitionⅤ．５

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次にCもまたそれぞれの量AとBに対して同じ比を持つことをいう。

同じ解釈で、DがEと等しく、Fがある他の量であることを同様に証明できる。それゆえにFがDより多いならば、それはまたEより多い。等しいならば、等しい。少ないならば、少ない。

そしてFはCの倍数であり、DとEは他の任意のAとBの同倍数であるとき、それゆえにCはAに対し同じようにCはBに対する。definitionⅤ．５

それゆえに、等しい量は同じ量に同じ比をもち、同じ量は等しい量に同じ比を持つ。

証明終了

系

これから、任意の量が比例しているならば、それらは逆にもまた比例していることが明白である。