命題２
互いに素でない与えられた２つの数の最大公約数をみつけること。
ABとCDを２つの与えられた互いに素でない数とせよ。
ABとCDの最大公約数をみつけることが要求されている。
もし今CDがABを割り切るならば、自分自身も割り切るので、そのとき、CDはCDとABの公約数である。
そして、CDを割り切るCDより大きい数がないので、それが最大であることは明白である。
しかし、CDがABを割り切らないならば、ABとCDの小さいほうが大きいほうから連続的に引かれているとき、前の数を割り切る数が残る。
単位が残されることはないので、他では、ABとCDが互いに素となり、仮定に反するからである。definitionⅦ．１２、propositionⅦ．１
それゆえに、前の数を割り切る数が残る。
今、CDをBEを割り切り、自分より小さいEAを残すとし、EAをDFを割り切り自分より小さいFCを残し、CFがAEを割り切るとせよ。
このとき、CFはAEを割り切り、AEはDFを割り切るので、それゆえに、CFもまたDFを割り切る。
しかし、それは、自分を割り切るので、それゆえに、全体CDを割り切る。
しかし、CDはBEを割り切り、それゆえに、CFもまたBEを割り切る。
そしてまた、EAを割り切る。
それゆえに、全体BAをわりきる。
しかし、CDも割り切る。
それゆえに、CFはABとCDを割り切る。
それゆえに、CFはABとCDの公約数である。
次に、それが最大であると主張する。
CFがABとCDの最大公約数でなければ、そのとき、CFより大きいある数GがABとCDを割り切る。
今、GはCDを割り切り、CDはBEを割り切るので、それゆえに、GはまたBEを割り切る。
しかし、それは全体BAを割り切るので、それゆえに、それは、残りのAEを割り切る。
しかし、AEはDFを割り切る。
それゆえに、GもまたDFを割り切る。
そして、全体DCを割り切る。
それゆえに、残りのCFも割り切り、つまり、大きい数が小さい数を割り切り、これは不可能である。
それゆえに、ABとCDを割り切るCFより大きい数はない。
それゆえに、CFはABとCDの最大公約数である。
系
このことから、２つの数を割り切る数は、それらの最大公約数を割り切ることは明白である。