命題２０
同じ比をもつ数のうち最小の数は、同じ比をもつ数を割り切り、商は同じで、大きい数は大きい数を、小さい数は小さい数を割り切る。
CDとEFをAとBと同じ比をもつ数の中で最小の数とせよ。
CDはAを、EFはBを割り切り、商は同じであると主張する。
今、CDはAの約数たちでない。
もし可能ならば、約数たちであるとせよ。
それゆえに、EFもまたBの、CDはAの同じ約数たちである。propositionⅦ．１３、definitionⅦ．２０
それゆえに、EFの中にBの、CDの中にAの約数と同じだけ約数がある。
CDをAの約数、つまりCGとGDに分け、EFをBの約数、つまりEHとHFに分けよ。
そうすれば、CGとGDの個数とEHとHFの個数は等しい。
CGとGDは互いに等しく、EHとHFもまた互いに等しく、一方、CGとGDの個数はEHとHFの個数は等しいので、それゆえに、CGはEHに対して、GDはHFに対する。
前項の１つは後項の１つに対して、前項の和は後項の和に対するので、CGはEHに対して、CDはHFに対する。propositionⅦ．１２
それゆえに、CGとEHは、CDとEFの比と同じ比であり、それらより小さく、仮定であるCDとEFはそれらと同じ比をもつ数の中で最小であることから不可能である。
それゆえに、CDはAの約数たちでなく、それゆえに、CDはAの約数である。propositionⅦ．４
また、EFはBの、CDはAの約数と同じ約数である。
それゆえに、CDはAを、EFはBを割り切り、商は同じである。同じ比をもつ数のうち最小の数は、同じ比をもつ数を割り切り、商は同じで、大きい数は大きい数を、小さい数は小さい数を割り切る。propositionⅦ．１３、definitionⅦ．２０
それゆえに、同じ比をもつ数のうち最小の数は、同じ比をもつ数を割り切り、商は同じで、大きい数は大きい数を、小さい数は小さい数を割り切る。
証明終了