命題１３
もし、連続して比例する任意個の数があり、それぞれがそれ自身をかけてある数を作るならば、そのとき、できた数は比例する。また、元の数ができた数をかけてある数を作るならば、そのとき、それらもまた比例する。
連続して比例する任意個の数A、B、Cがあるとし、つまり、AはBに対して、BはCに対するとせよ。
A、B、Cがそれぞれ自分自身をかけてD、E、Fを作り、D、E、FをかけてG、H、Kを作るとせよ。
D、E、FとG、H、Kは連続して比例すると主張する。
AにBをかけてLを作り、AとBにLをかけて、おのおのMとNを作るとせよ。
また、BにCをかけてOを作り、BとCにOをかけて、おのおのPとQを作るとせよ。
そのとき、前と同様にして、D、L、EとG、M、N、Hが、AがBに対する比で連続して比例し、E、O、FとH、P、Q、Kが、BがCに対する比で連続して比例することが証明できる。
今、AはBに対して、BはCに対する。
それゆえに、D、L、EもまたEOFと同じ比であり、加えてG、M、N、HはH、P、Q、Kと同じ比である。
また、D、L、Eの個数はE、O、Fの個数と等しく、G、M、N、Hの個数はH、P、Q、Kの個数と等しい。
それゆえに、等間隔比により、DはEに対して、EはFに対し、また、GはHに対して、HはKに対する。propositionⅦ１４
それゆえに、もし、連続して比例する任意個の数があり、それぞれがそれ自身をかけてある数を作るならば、そのとき、できた数は比例する。また、元の数ができた数をかけてある数を作るならば、そのとき、それらもまた比例する。
証明終了