命題９
もし、２つの数が互いに素で、その間に連続する数があるならば、そのとき、その間に連続して比例する数がいくつ入ろうとも、２つの数のそれぞれと単位の間に同じ個数の連続して比例する数がある。
AとBを２つの互いに素である数とし、CとDをその間に連続して比例する数がなるとし、単位Eを定めるとせよ。
AとBの間に連続して比例する数と同じだけAかBのどちらかと単位の間に連続して比例する数があると主張する。
A、C、D、Bの比で最小である２つの数FとGを、同じ性質をもった３つの数H、K、Lをとり、１つずつ続けて多くし、A、C、D、Bの個数と等しくなるまでする。propositionⅧ．２
それらを、M、N、O、Pとせよ。
今、Fにそれ自身をかけてHを作り、HをかけてMを作り、一方、Gにそれ自身をかけてLを作り、LをかけてPを作っていることは明白である。propositionⅧ．２cor
また、M、N、O、PはFとGと同じ比をもつ数のうち最小で、A、C、D、Bもまた、FとGと同じ比をもつ数のうち最小であり、一方で、M、N、O、Pの個数は、A、C、D、Bの個数と等しいので、それゆえに、M、N、O、PとA、C、D、Bはおのおの等しい。propositionⅧ．１
それゆえに、MはAと等しく、PはBと等しい。
今、Fはそれ自身をかけHを作るので、それゆえに、FはHを割り切り、その商はFの中にある単位である。
しかし、単位EもまたFを割り切りその商はFの中の単位である。
それゆえに、単位Eは数Fを割り切り、FがHを割り切った商と同じである。
それゆえに、単にEはFに対して、FはHに対する。
再び、FはHをかけてMを作るので、それゆえに、HはMを割り切り、その商はFの中にある単位である。
しかし、単位EもまたFを割り切りその商はFの中の単位である。
それゆえに、単位Eは数Fを割り切り、HがMを割り切った商と同じである。
それゆえに、単にEはFに対して、HはMに対する。
しかし、単位EはFに対して、FはHに対することは証明されているので、それゆえに、単位EはFに対して、FはHに対して、HはMに対する。
しかし、MはAに等しい。
それゆえに、単位EはFに対して、FはHに対して、HはAに対する。
同じ理由で、単位EはGに対して、GはLに対して、LはBに対する。
それゆえに、AとBの間に連続して比例する数と同じだけAとBのそれぞれと単位Eの間に連続して比例する数がある。
それゆえに、もし、２つの数が互いに素で、その間に連続する数があるならば、そのとき、その間に連続して比例する数がいくつ入ろうとも、２つの数のそれぞれと単位の間に同じ個数の連続して比例する数がある。
証明終了