命題１７
連続して比例する数があり、それらの外項が互いに素であるならば、第1が第2に対すると同じように末項は他のどんな数にも対することはない。
連続して比例する任意個の数A、B、C、Dがあるとし、それらの外項AとDが互いに素であるとする。
AがBに対するようにDが他のどんな数にも対することはないことをいう。
AがBに対することが可能ならば、DがEに対するとし、それゆえに、入れ替えて、AはDに対し同じようにBはEに対する。propositionⅦ．１３
しかしAとDは互いに素であり、素である数はまた最小であり、最小数は同じ比を持つ数を同じ回数で割り切り、前項は前項を、後項は後項を割り切る。それゆえにAはBを割り切る。そしてAはBに対し同じようにBはCに対する。それゆえにBもまたCを割り切る。だからAもまたCを割り切る。propositionⅦ．２１、propositionⅦ．２０
そしてBはCに対し同じようにCはDに対し、BはCを割り切るから、それゆえにCもまたDを割り切る。しかしAはCを割り切り、だからAもまたDを割り切る。しかしAはAを割り切り、それゆえに、Aは、不可能である、互いに素であるAとDを割り切る。
それゆえにAがBに対するようにDは他のどんな数にも対さない。
それゆえに、連続して比例する数があり、それらの外項が互いに素であるならば、第1が第2に対すると同じように末項は他のどんな数にも対することはない。
証明終了