命題３１
奇数が任意の数に対して素であるならば、奇数は任意の数の２倍に対しても素である。
奇数Aを任意の数Bに対して素であるとし、CをBの２倍とする。
AがCに対して素であることをいう。
それらが互いに素でないならば、ある数がそれらを割り切る。
数Dがそれらを割り切るとする。
さてAは奇数であり、それゆえにDもまた奇数である。そして奇数であるDはCを割り切り、Cは偶数であるから、それゆえにDはまたCの半分を割り切る。propositionⅨ．３０
しかしBはCの半分であり、それゆえにDはBを割り切る。しかしDはAもまた割り切り、それゆえに、不可能である、Dは互いに素であるAとBを割り切る。
それゆえにAはCに対して素でなくてはならない。それゆえにAとCは互いに素である。
それゆえに、奇数が任意の数に対して素であるならば、奇数は任意の数の２倍に対しても素である。
証明終了