命題１３
「直線が直線の上に立っているならば、２つの直角または和が２直角と等しい角をつくる。」
直線ＣＤの上に立っている任意の線分ＡＢが角ＣＢＡとＡＢＤをつくるとせよ。
角ＣＢＡとＡＢＤが２つの直角またはその和が２直角と等しいことをいう。
いま、角ＣＢＡが角ＡＢＤと等しいならば、それらは２直角である。定義Ⅰ．10
しかし、もしそうでないならば、直角になる点ＢからＣＤにＢＥをひきなさい。それゆえ角ＣＢＥ、ＥＢＤは２つの直角である。命題Ⅰ．11
角ＣＢＥは２つの角ＣＢＡ、ＡＢＥの和と等しいので、それぞれに角ＥＢＤを加えると、角ＣＢＥ、ＥＢＤの和は３つの角ＣＢＡ、ＡＢＥ、ＥＢＤの和と等しい。共通概念Ⅰ．２
また、角ＤＢＡは２つの角ＤＢＥ、ＥＢＡの和と等しいので、それぞれに角ＡＢＣを加えると、角ＤＢＡ、ＡＢＣの和は３つの角ＤＢＥ、ＥＢＡ、ＡＢＣの和と等しい。共通概念Ⅰ．２
しかし、角ＣＢＥ、ＥＢＤの和も同じ３つの角の和と等しいことが証明されている。そして、同じものに等しいものはまた互いに等しい。それゆえ、角ＣＢＥ、ＥＢＤの和も角ＤＢＡ、ＡＢＣの和と等しい。しかし、角ＣＢＥ、ＥＢＤは２つの直角である。それゆえ、角ＤＢＡ、ＡＢＣの和も２直角と等しい。共通概念Ⅰ．１
それゆえ、直線が直線の上に立っているならば、２つの直角または和が２直角と等しい角をつくっている。
証明終了