命題2

二つの不等な量のうちより大きいほうから小さいほうを次々にひいていき，そのひかれて残った量がひいたの量を割り切れないならば， それらの二つの量は通約不可能である。

二つの不等な量ＡＢ，ＣＤがあり，ＡＢのほうがＣＤより小さいとする。大きいほうから小さいほうを次々とひいていき，引かれて残った量がひいた量を割り切れないとすると，量ＡＢ，ＣＤは通約不可能となる。

もし，それらの量が通約可能であるならば，その時のある量Ｅは，ＡＢ，ＣＤを割り切る。ＦＤはＡＢで割り切られ，ＣＦはＡＢより小さくなるようなＦＤをＣＤ上にとり，ＣＤからＦＤをひく。

同様にして，ＡＢ上にＧをとりＡＢからＧＢをひく。引かれて残った量がＥより小さくなるまでこの過程を繰り返す。

そしてＥより小さいＡＧが残されたとする。

その時，ＡＢはＦＤを割り切りＥはＡＢを割り切るので，ゆえにＥはＦＤも割り切る。また，ＥはＣＤ全体も割り切る。>

ゆえに，ＥはＣＦも割り切り，また，ＣＦはＢＧを割り切るので，ＥはＢＧも割り切る。また，ＥはＡＢ全体も割り切る。

ゆえにＥはＥよりも小さい量のＡＧをも割り切る。これは不可能である。

したがって，いかなる量も量ＡＢ，ＣＤを割り切らない。ゆえに，量ＡＢ，ＣＤは通約できない。 �].Def.1

証明終了