そして，ＡＢより大きな量でＡＢを割り切れないことは明らかであり， ＡＢが最大であることになる。

つぎにＡＢがＣＤを割り切れないとする。

大きいほうから小さいほうを次々と引いたとすると，残された量がひいた量を割り切ることになる。 なぜならば，ＡＢとＣＤは通約可能だからである。 �].2

ＡＢがＥＤを割り切り，ＡＢより小さいＥＣを残し，ＥＣがＦＢを割り切り，ＥＣより小さいＡＦを残すとし， ＡＦがＥＣを割り切るとする。

そうすると，ＡＦがＥＣを割り切り，ＥＣがＦＢを割り切るとき，ＡＦはＦＢも割り切ることになる。したがって，ＡＦがＡＦ自身を割り切るとき， ＡＦはＡＢ全体を割り切る。

ＡＢがＤＥを割り切るので，ＡＦはＥＤも割り切る。 ＡＦは，ＥＣを割り切るので，ＣＤ全体も割り切る。

したがって，ＡＦはＡＢとＣＤの公約量である。

次に，ＡＦが最大であることを示す。

ＡＦが最大でなければ，ＡＢとＣＤを割り切り，ＡＦより大きいＧが存在することになる。そうすると，ＧはＡＢを割り切り， ＡＢがＥＤを割り切るとき，ＧはＥＤもまた割り切る。

ＧがＣＤ全体を割り切ると，残りのＥＣも割り切る。ＥＣがＦＢを割り切るので，ＧはＦＢも割り切る。ＧがＡＢ全体を割り切るので，残りのＡＦも割り切ることになり ＧはＡＦより大きいので不可能である。

したがって，ＡＦより大きく，ＡＢとＣＤを割り切る量はない。 ゆえに，ＡＦはＡＢとＣＤの最大公約量である。

よって，通約可能な量ＡＢとＣＤの最大公約量が見つけられた。

証明終了