命題5

通訳可能な量は，お互いに数で表せる比をもつ。

Ａ，Ｂを通約できる量とし， ＡはＢに対して数であらわせる比をもつとする。 ある量Ｃはそれらを割り切るものとする。

ＣをＡで割った商の個数がＤの中にある単位の個数であり， ＣでＢを割った商の個数がＥの中にある単位の個数とする。

Ｄの中にある単位の個数で，ＣはＡを割り切り，単位はＤを割り切る。単位でＤを割った商はＤの中にある単位の個数であるから， 単位で数Ｄを割った商は量Ｃで量Ａを割った商に等しい。

したがって，ＣがＡに対するように，単位がＤに対する。 逆に，ＡがＣに対するようにＤが単位に対する。

また，Ｅの中にある単位の個数でＣはＢを割り切り， 単位はＥを割り切る。

単位でＥを割った商はＥの中にある単位の個数であるから， 単位でＥを割った商はＣでＢを割った商に等しい。

したがって，ＣがＢに対するように，Ｄが単位に対する。

よって，ＡがＢに対する比と数Ｄが数Ｅに対する比をもつ。

証明終了