命題6

二つの量が互いに数であらわせる量をもつならば， その量は通約可能である。

二つの量ＡとＢが互いに数Ｄと数Ｅであらわされる比をもつとする

量Ａと量Ｂが通約可能であることを示す。

ＡがＤの中にある単位と同数の部分に分けられそれらと等しいものをＣとする。 そして，ＦがＥの中にある単位と同数のＣに等しい量で成り立っているとする。

Ｄの中にあるＣに等しい量と同数がＡにあり， Ｄの中にある単位と同数の部分がＡの中のＣにもある。

その単位は数Ｄを割り切り，ゆえにＣもＡを割り切る。 そしてＣのＡに対するのと，単位のＤに対するのは等しい。 �Z.Def.20

逆にＡのＣに対するのとＤの単位に対するのは等しい。 �X.7.Cor.

よってＥの中にある単位と同数のＣに等しい量がＦにあり， ＣのＦに対する比は単位のＥに対する比と等しい。

よってＤがＥに対するようにＡはＢにたいし， ＡがＢに対するようにＡはＦに対する。

したがってＡがＢとＦそれぞれに対して同じ比をもつ。 よってＢとＦは等しい。

よってＣはＦを割り切り， ＣはＢも割り切る。さらに，ＢはＡも割り切る。

ゆえに，ＣはＡとＢを割り切る。

証明終了