命題16

二つの通約不可能な量を加えるとその合計は二つの量の それぞれによって
通約不可能であることがいえる。
また，どちらかひとつの量によって合計が通約不可能であること がいえれば，
もとの二つの量も通約不可能である。

二つの通約不可能な量AB,BCを加える。

ACがAB,BCによって通約不可能であることをいう。

CAとABが通約不可能でないとする。 そしてCA,ABを割り切る量をDとする。

DはCAとABを割り切る。そしてそれは残りのBCも割り切る。 よってDはABとBCを割り切ることになる。
仮定により，AB,BCは通約不可能であるので矛盾。

それゆえ，CAとABを割り切る量はない。 よって，CAとABは通約不可能である。 Ⅹ.Def.1

同じように，ACとCBも通約不可能である。
よって，ACはABとBCのそれぞれによって， 通約不可能であることがいえる。

次に，ACはABかBCのどちらかの量によって， 通約不可能であることを示す。

まず，ACがABによって通約不可能がいえるとする。

ABとBCが通約不可能であることを示す。

まずACがABによって通約不可能であることがいえるとする。

ABとBCが通約不可能であることを示す。

もしAB,BCが通約可能ならば，それらを割り切るDが存在する。

DがABとBCを割り切る。そして，Dは全体のACも割り切る。
よって，DはCAとABを割り切る。よって，CAとABは通約可能である。
しかし，仮定により，矛盾，通約不可能。

それゆえ，AB,BCを割り切る量はない，よって，AB,BCは通約不可能である。 Ⅹ.Def.1

証明終了