命題16

二つの通約不可能な量を加えるとその合計は二つの量の それぞれによって
通約不可能であることがいえる。
また，どちらかひとつの量によって合計が通約不可能であること がいえれば，
もとの二つの量も通約不可能である。

二つの通約不可能な量AB,BCを加える。

ACがAB,BCによって通約不可能であることをいう。

CAとABが通約不可能でないとする。 そしてCA,ABを割り切る量をDとする。

DはCAとABを割り切る。そしてそれは残りのBCも割り切る。 よってDはABとBCを割り切ることになる。
仮定により，AB,BCは通約不可能であるので矛盾。

それゆえ，CAとABを割り切る量はない。 よって，CAとABは通約不可能である。 �].Def.1

同じように，ACとCBも通約不可能である。
よって，ACはABとBCのそれぞれによって， 通約不可能であることがいえる。

次に，ACはABかBCのどちらかの量によって， 通約不可能であることを示す。

まず，ACがABによって通約不可能がいえるとする。

ABとBCが通約不可能であることを示す。

まずACがABによって通約不可能であることがいえるとする。

ABとBCが通約不可能であることを示す。

もしAB,BCが通約可能ならば，それらを割り切るDが存在する。

DがABとBCを割り切る。そして，Dは全体のACも割り切る。
よって，DはCAとABを割り切る。よって，CAとABは通約可能である。
しかし，仮定により，矛盾，通約不可能。

それゆえ，AB,BCを割り切る量はない，よって，AB,BCは通約不可能である。 �].Def.1

証明終了