Lemma
ある線分上に，正方形だけ欠けている平行四辺形が作られるならば，
その作られた平行四辺形は，
その結果作られた線分の二つの部分によって，
囲まれた長方形に等しい。
線分AB上に正方形DBだけ欠けている平行四辺形ADをつくる。
DBは正方形なのでDCはCBに等しく， ADは長方形AC,CDすなわち，長方形AC，CBである。
よって，ADはAC,CBでできた長方形に等しい。
命題17
不等な二つの線分があり，大きい線分上に小さい線分でできた正方形の４分の１に等しく，
正方形だけ欠けている平行四辺形をつくり，
それを長さにおいて通約できる二つの部分に分けるならば，
大きい線分でできた正方形は小さい線分でできた正方形より，
大きい線分と通約可能な線分でできた正方形だけ大きい。
また，大きい線分でできた正方形が小さい線分でできた正方形より
大きい線分と通約可能な線分でできた正方形だけ大きく，
小さい線分でできた正方形の四分の一に等しく，正方形だけ欠けている平行四辺形が
大きい線分で作られるならば，
それを長さにおいて，通約可能な二つの部分に分ける。
A,BCを不等な二つの線分とし，BCのほうが大きいとする。
小さい線分Aでできた正方形の４分の１，すなわちAの半分でできた正方形に等しくて，正方形だけ欠けている平行四辺形がBC上につくる。それを長方形BD，DCとし，
BDはDCと長さにおいて通約可能であるとする。
BCでできた正方形はAでできた正方形よりBCと通約可能な 線分でできた正方形だけ大きいことを示す。
BCを点Eで二等分し，その二等分された， EFをDEに等しくする。 Ⅰ.10 Ⅰ.3
ゆえに，残りのDCはBFに等しい。
そして，線分BCはEで等しい二つの部分に，
Dで不等な二つの部分に分けられたので，
BD,DCによって囲まれる長方形とEDでできた正方形の和は
ECでできた正方形に等しい。
４倍についても同じことがいえる。
Ⅱ.5
つまり，長方形BD，DCの４倍と，DEでできた正方形の ４倍との和はECでできた正方形の４倍に等しい。
また，Aでできた正方形は長方形BD,DCの４倍に等しく， DFはDEの２倍だから， DFでできた正方形はDEでできた正方形の４倍に等しい。
また，BCはCEの２倍であるので， BCでできた正方形はECでできた正方形の４倍に等しい。
ゆえに，A,DFでできた２つの正方形の和はBCでできた正方形に等しい。
よって，BCでできた正方形はAでできた正方形より DFでできた正方形だけ大きい。
BCがDFと通約可能であることを示す。
BDはDCと長さにおいて通約可能なので， BCはCDと長さにおいて通約可能。 Ⅹ.15
また，CDはBFに等しいので， CDはCD,BFと長さにおいて通約可能である。 Ⅹ.6
ゆえに，BCはBF,CDを長さにおいて通約可能。 したがって，BCは残りのFDと長さにおいて通約可能。 Ⅹ.12
よって，BCでできた正方形はAでできた正方形より， BCと通約可能な線分でできた正方形だけ大きい。 Ⅹ.15
次に，BCでできた正方形がAでできた正方形よりBCと通約可能な線分でできた正方形だけ
おおきいとし，
Aでできた正方形の４分の1に等しく，
正方形だけ欠けている。
平行四辺形がBC上に作られたとし
それを長方形BD,DCとする。
BDがDCと長さにおいて通約可能であることを示す。 Ⅹ.15
同じ作図がなされたとき，BCでできた正方形がAでできた正方形より FDでできた正方形だけ大きいことを示した。
そして，BCでできた正方形はAでできた正方形より BCと通約可能な線分でできた正方形だけ大きい。
ゆえに，BCはFDと長さにおいて通約可能。
したがって，BCはのこりのBF,DCの和と長さにおいて，通約可能。
また，BF,DCの和はDCと通約可能。
よって，BCはCDと長さにおいて通約可能。
したがって，BDはDCと長さにおいて通約可能。
Ⅹ.6
Ⅹ.12
Ⅹ.15
証明終了