命題43

第一の双中項線分はただ一つの点でのみ分けられる。

ABを第一の双中項線分としCで分けられるとする。

すなわち，ACとCBは平方においてのみ通約可能で 有理な長方形に含まれる中項線分である。 �].37

ABは他の点で分けられないことを示す。

もし，Dで分けることができるならば， ADとDBは平方においてのみ通約可能で 有理な長方形に含まれる中項線分である。

また，ADとDBでできた長方形の二倍と ACとCBでできた長方形の二倍の差はAC上，CB上の正方形の和と AD上，DB上の正方形の和との差に等しい。

ADとDBでできた長方形と， ACとCBでできた長方形は有理面積なのでその差は有理面積である

ゆえに，AC上，CB上の正方形の和と， AD上，DB上の正方形の和はそれぞれ中項面積であるが，
その差が，有理面積であることになり，矛盾。 �].26

ゆえに，第一の中項線分は他の点で分けることはできない

よって，ただ一つの点でのみ分けられる。

証明終了