命題26
中項面積は有理面積だけ中項面積を超えない
中項面積ABが有理面積DBだけ中項面積ACを こえることができるとする。
有理な直線をEFとおく。
長方形ABに等しく，EHを幅とする長方形FHがEF上につくられる。
長方形ACに等しい長方形FGをFHからひく，
そうすると残りのBDは残りのKHに等しい。
DBは有理で，ゆえにKHも有理である。
長方形ABとACはそれぞれ中項面積なので，
ABがFHに等しいようにACがFGに等しく，
ゆえに長方形FHとFGもそれぞれ中項面積である。
それらは有理線分EF上につくられている。
ゆえに，直線HEとEGは有理であり， FEとそれぞれ長さにおいて通約不可能である。 Ⅹ.22
DB は有理で，KHに等しいのでゆえにKHも有理である。
そして，それは有理線分EFでつくられている。
ゆえにGHは有理でEFと長さにおいて通約可能である。
Ⅹ.20
EGも有理で，EFと長さにおいて通約不可能。
ゆえに，EGはGHと長さにおいて通約不可能。 Ⅹ.13
また，EGがGHに対するようにEGでできた正方形は
EGとGHでできた長方形に対するので，
EGでできた正方形はEGとGHでできた長方形と通約不可能である。
Ⅹ.11
EGとGHでできた正方形の和はEGでできた正方形と通約可能であり，
両方とも有理である。
EGとGHでできた長方形の二倍は EGとGHでできた長方形と通約可能である。 Ⅹ.6 Ⅹ.13
ゆえに，EGとGHでできた正方形の和は， EGとGHでできた長方形の二倍と通約不可能である。
ゆえに，EGとGHでできた正方形の和とEGとGHでできた長方形の二倍を加えたもの，
つまりEHでできた正方形はEGとGHでできた正方形の和と通約不可能である。
Ⅱ.6
Ⅹ.16
また，EGとGHでできた正方形の和は有理で
ゆえに，EHでできた正方形は無理である。
ゆえに，EＨは無理
しかし，有理でもあるので矛盾
Ⅹ.Def.4
よって，FHがHKに対するように，HKはKLに対する。
したがって，FK，KLでできた長方形はHK上の正方形に等しい。 Ⅵ.1 Ⅴ.11 Ⅵ.17
また，FH,KLでできた長方形は有理面積である。
ゆえに，HK上の正方形は有理面積である。
よって，HKは有理線分である。
HKがFGと長さにおいて通約可能ならば，
HNは有理面積で
HKがFGと長さにおいて通約不可能ならば，
KH，HMは正方形だけにおいて通約可能な有理線分である。
よって，HNは有理面積か中項面積である。
また，HNはACに等しい。
よって，ACは有理面積か中項面積かのどちらかである。
証明終了