命題115
「中項線分から無数の無理線分が生じ、それらのどれもが前のものと同じでない」
Aを中項線分とする。
Aから無数の無限線分が生じ、それらのどれもが前のものと同じでないことを示す。
有理線分Bを定める。 Cでできた正方形は長方形B,Aに等しいとする。 無理線分と有理線分によって囲まれる長方形は無理面積であるので、このときCは無理線分である。 Ⅹ.Def.4 Ⅹ.20
そして、前のものでできた正方形に等しい長方形が有理線分上につくられるならば中項線分を幅としないので、Cは前のものと同じでない。
また、Dでできた正方形は長方形B,Cに等しいとする。 このとき、Dでできた正方形は無理面積である。 Ⅹ.20
よって、Dは無理線分で前のものでできた正方形に等しい長方形が有理線分上につくられるならばCを幅としないので、前のものと同じでないことは明らかである。 Ⅹ.Def.4
したがって，中項線分から無数の無理線分が生じ、それらのどれもが前のものと同じでない。
証明終了