第
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第
10巻の内容・
命題(39)定義１．1つの立体は長さ,幅,奥行きを持つ
定義２．立体の端は面である 定義３．１つの直線が１つの平面と垂直であるのは,その直線と交わりその平面上にあるすべての直 線とその直線が直角をつくるときである 定義４．互いに交わる２つの平面の一方が２つの平面の交線に対して直角に対して直角なとき，それらの平面は互いに直角である。 定義５．線分の平面に対する傾きとは,その線分の平面外の端から平面に垂線が引かれこのようににして生じた点からもとの線分の平面状の端へ線分が結ばれたとき，このように引かれた線分と平面上に立つもとの線分とによってはさまれる角である。 定義６．平面と平面の傾きは互いの平面において交線上の同じ点に対し直角に引かれた線分によってはさまれた鋭角である。 定義７．前記の傾きの角度が等しいとき平面は平面に対してほかの平面に対するのと同じ傾きになる。 定義８．平行な平面は交わらない。 定義９．相似な立体図形は数が等しく相似な平面によって構成される。 定義10．等しくて相似な平面図形は大きさと数が等しく相似な平面によって構成される。 定義11．立体角は,その傾きが互いに交わる同じ面にない2つ以上の直線によって作られる傾きである。あるいは,1つの点で作られ同じ平面上にない２つ以上の平面角によって構成される。 定義12．角錐は1点に対し1つの平面から構成され，いくつかの平面によってかこまれた立体図形である。 定義13．角柱とは向かい合い，等しく,そうじで平行である2つの平面によって構成され，その残りは平行四辺形である。 定義14．固定された直角をもつ半円が１周動かされ，動き始めたところから同じ場所に戻ったとき，その図形は球になる。 定義15．球の軸は,回転する半円において固定されたままの線分である。 定義16．球の中心は，半円の中心と同じである。 定義17．球の直径は，中心と球の曲面の両方の端を通る直線で引かれたものである。 定義18．固定された直角を１辺にもつ直角三角形が１周動かされ，動き始めたところから同じ場所に戻ったとき，その図形は錐である。固定された直線が他の直線と等しいならば直角になり，小さければ鈍角になり大きけれ ば鋭角になる。 定義19．錐の軸は回転された三角形の固定されたままの直線である。 定義20．そしてその底面は丸く回転した直線によって引かれた円である。 定義21．固定された直角を1辺にもつ直角な平行四辺形が1周動かされ,動き始めたところから同じ場所に戻ったとき，その図形は円柱になる。 定義22．円柱の軸は平行四辺形を回転させたものについて固定されたままの直線である。 定義23．そしてその底面は丸く互いに向かい合った２つの面によって描かれた円である。 定義24．相似な錐,また相似な円柱は軸と底面の直径は比例している。 定義25．立方体は，6つの等しい正方形によって構成された立体図形である。 定義26．八面体は，８つの等しく等辺の三角形によって構成された立体図形である。 定義27．二十面体は，20の等しい等辺の三角形によって構成された立体図形である。 定義28．十二面体は，12の等しく等辺で等角の五角形によって構成された立体図形である。
命題1 線分は平面上もしくは平面の1部において決して角度をもってはならない。 命題2 2つの直線を互いに切るとすると、そのときそれらは1つの平面にある。つまりすべての三角形は1つの平面上にある。 命題3 2つの平面を互いに切ったとき,それらの共通部分は直線である。 命題4 もし、ある直線が切り口の共有点で互いに切られた2つの直線に垂直だとすると,その直線もまたそれらを通る平面にも垂直である。 命題5 もし、1つの直線が切り口の共有点で互いに交わる3つの直線に垂直ならば,そのとき、3つの直線は1つの平面上にある。 命題6 ２つの直線が同一平面に対し垂直ならば、それらの２直線は平行である 命題7 ２直線が平行で、両方の上に任意の点がとれるならば、それらを結ぶ直線は平行線と同一平面上にある。 命題8 もし２直線が平行で、それらの１つが任意の平面に垂直ならば、残りの１つもまたその同じ平面に垂直である。 命題9 同じ直線に平行であるがそれと同じ平面にはない２つの直線はまた、互いに平行である。 命題10 もし互いに交わる2直線が同一平面上にない互いに交わる2直線に平行ならば、そのときそれらは同じ角をなす。 命題11 面外の与えられた点から、与えられた平面に垂直な直線をひくこと。 命題12 与えられた平面上の与えられた点からその平面に垂直な直線をつくること。 命題13 同じ点からひいた2つの直線は同じ側の同じ平面に垂直をなすことができない。 命題14 同じ直線に直角な2平面は平行である。 命題15 もし、互いに交わる2直線が同一平面にない互いに交わる2直線に平行ならば,そのときそれらを通る平面は平行である。 命題16 もし２つの平行な平面が任意の平面に切られるならば、そのときそれらの交線は平行である。 命題17 もし、2つの直線が平行な平面によって切られるならば,そのときそれらは同じ比に切られる。 命題18 もし、ある直線が任意の平面に垂直ならば,そのときそれを通るすべての平面もまた同じ平面に垂直である。 命題19 もし、互いに切られる2平面が任意の平面に垂直ならば,そのときそれらの交線もまた同じ平面に垂直である。 命題20 もし、ある立体角が3つの平面角によってなされるならば,そのとき任意の2つの和は残りの1つよりも大きい。 命題21 任意の立体角は4直角より小さい平面角によってつくられる。 命題22 どの2角の和も残りの1つよりい大きく、等しい線分によってつくられる3つの平面角があるならば、そのとき、それらの等しい線分を結ぶ線分から三角形をつくることができる。 命題23 どの2つの和も残りの1つよりも大きい3つの平面角から1つの立体角をつくること。ただし、3つの角の和は4直角よりも小さくなくてはならない。 命題24 もし,立体が平行な平面でかこまれるならば，そのときそれに向かい合った平面は等しく平行四辺形である。 命題25 もし平行六面体が向かい合った平面に平行な平面によって切られるならば,そのときその底辺が底辺に対するの同様に，立体は立体に対する。 命題26 立体角は与えられた直線上の与えららた点において与えられた立体角に等しくなる。 命題27 与えられた直線上の与えられた平行六面体に相似であり，相似な位置にある平行六面体をかくこと。 命題28 もし，平行六面体が向かい合った面の対曲線を通るへいめんによって切られるならば，その立体は平面によって2等分される。 命題29 同じ底辺上にあり同じ高さの平行六面体はそれらの立っている辺の端がおなじ直線上にあるとき，たがいに等しい。 命題30 同じ底面上にあり，同じ高さの平行六面はそれらのたっている辺の端が同じ直線上になくても互いに等しい。 命題31 等しい底辺上にあり，同じ高さの平行六面体は互いに等しい。 命題32 同じ高さの平行六面体は互いに底面に比例する。 命題33 相似な平行六面体は互いに相対する辺の３乗比である。 命題34 等しい平行6面体の底面は高さに反比例する。そして、これらの底面が高さに反比例する平行6面体は等しい。 命題35 もし2つの平面角が等しく,それらの頂点で最初の直線とそれぞれ等しい角を作る面外の直線がたてられ、面外の直線上に任意の点がとられ,そして、最初の角をふくむ平面へ垂線が下ろされ,その平面上に生ずるてんから、最初の角の頂点へ直線が結ばれるならば、それらの直線は面外の直線と等しい角をつくる。 命題36 もし、３直線が比例しているならば,そのとき、３直線からなる平行六面体は中項のうえの等辺でこの平行六面体と等角な平行六面体に等しい。 命題37 もし、４線分が比例するならば,そのときその上で相似で相似な位置に立てられた平行六面体も比例する。また、もし、線分の上の相似で相似な位置にある平行六面体が比例するならば,線分自身も比例する。 命題38 もし、立方体の向かい合った面の辺が２等分され、区分点を通る２つのへいめんがつくられるならば、それらの２平面の交線と,立方体の対角線とは互いに２等分する。 命題39 もし、等しい高さの２つの角柱があり、１つが平行四辺形を底面とし,他方が三角形を底面とし,また、平行四辺形が三角形の2倍であるならば、それらの角柱は等しい。