命題１５
「円で直径はもっとも大きく、残りの弦のうち中心に近いものは遠いものより常に大きい。」
円をＡＢＣＤとし、その直径をＡＤとし、その中心をＥとせよ。ＢＣは直径ＡＤに近く、ＦＧは遠いとせよ。
ＡＤはもっとも大きく、ＢＣはＦＧより大きいことをいう。
中心ＥからＢＣ、ＦＧに対して垂直にＥＨ、ＥＫをひきなさい。
そのとき、ＢＣは中心に近く、ＦＧは遠いので、ＥＫはＥＨより大きい。定義Ⅲ．５
ＥＬをＥＨと等しくさせなさい。Ｌを通りＥＫに直角なＬＭをひき、Ｎまで延長しなさい。ＭＥ、ＥＮ、ＦＥ、ＥＧを結びなさい。
そのとき、ＥＨはＥＬと等しいので、ＢＣもＭＮと等しい。命題Ⅲ．14
また、ＡＥはＥＭと等しく、ＥＤはＥＮと等しいので、ＡＤはＭＥとＥＮの和と等しい。しかし、ＭＥとＥＮの和はＭＮと等しく、ＭＮはＢＣと等しいので、ＡＤはＢＣより大きい。命題Ⅰ．20
そして、２辺ＭＥ、ＥＮは２辺ＦＥ、ＥＧと等しく、角ＭＥＮは角ＦＥＧより大きいので、底辺ＭＮは底辺ＦＧより大きい。命題Ⅰ．24
しかし、ＭＮはＢＣと等しいことが証明されていた。
それゆえ、ＡＤはもっとも大きく、ＢＣはＦＧより大きい。
それゆえ、円で直径はもっとも大きく、残りの弦のうち中心に近いものは遠いものより常に大きい。
証明終了