命題１６
「円の直径にその端から直角にひかれた線分は円の外部におちるであろう。そして、その線分と弧の間に、他の線分はひかれないだろう。さらに、半円の角はどの鋭角の直線角より大きく、残りの角はどの鋭角より小さい。」
Ｄを中心とし、ＡＢを直径とする円をＡＢＣとせよ。
ＡＢにＡから直角にひかれた線分は円の外部におちるであろうことをいう。
それがそうでないと仮定して、可能ならば、それはＣＡのように内部におちるとし、ＤＣを結びなさい。
ＤＡはＤＣと等しいので、角ＤＡＣも角ＡＣＤと等しい。命題Ⅰ．５
しかし、角ＤＡＣは直角なので、角ＡＣＤも直角である。そのうえ、三角形ＡＣＤで２角ＤＡＣ、ＡＣＤは２直角と等しくなるが、不可能である。
それゆえ、ＢＡに点Ａから直角にひかれた線分は円の内部におちないであろう。
同様にして、円周上にもおちないであろうことが証明することができる。それゆえ、それは外部におちる。
ＡＥのようにおちるとせよ。
つぎに、ＡＥと弧ＣＨＡの間に、他の線分はひかれないことをいう。
それがそうならないならば、可能ならば、他の線分がＦＡのようにひかれるとせよ。点ＤからＦＡに垂直なＤＧをひきなさい。
そのとき、角ＡＧＤは直角で、角ＤＡＧは直角より小さいので、ＡＤはＤＧより大きい。しかし、ＤＡはＤＨと等しいので、ＤＨはＤＧより大きく、小さいものは大きいものより大きいくなるが、不可能である。
それゆえ、他の線分はその線分と弧の間にひかれないだろう。
さらに、線分ＢＡと弧ＣＨＡによって囲まれている半円の角はどの鋭角の直線角より大きく、弧ＣＨＡと線分ＡＥによって囲まれている残りの角はどの鋭角より小さいことをいう。
線分ＢＡと弧ＣＨＡによって囲まれている角より大きい何らかの直線角があり、弧ＣＨＡと線分ＡＥによって囲まれている角より小さい何らかの直線角があるならば、弧と線分ＡＥの間に線分がひかれるだろう。そして、この線分は弦ＢＡと弧ＣＨＡによって囲まれている角より大きい直線角と弧ＣＨＡと線分ＡＥによって囲まれている角より小さい角をつくるだろう。
しかし、そのような線分はひかれないだろう。それゆえ、線分ＢＡと弧ＣＨＡによって囲まれている角より大きい鋭角の直線角はないし、また弧ＣＨＡと線分ＡＥによって囲まれている角より小さい角もないだろう。
それゆえ、円の直径にその端から直角にひかれた線分は円の外部におちるであろう。そして、その線分と弧の間に、他の線分はひかれないだろう。さらに、半円の角はどの鋭角の直線角より大きく、残りの角はどの鋭角より小さい。
証明終了
系
このことから、円の直径にその端から直角にひかれた線分は円に接することが明らかである。