命題３２

「直線が円に接し、接点から円に対し円を切る直線がひかれるならば、それが接線となす角は円の反対側の切片内の角と等しい。」

直線ＥＦが点Ｂで円ＡＢＣＤに接し、点Ｂから円ＡＢＣＤに対し円を切る直線ＢＤがひかれるとせよ。

ＢＤが接線ＥＦとなす角は円の反対側の切片内の角と等しい、つまり角ＦＢＤは切片ＢＡＤ内に作図された角と等しく、角ＥＢＤは切片ＤＣＢ内に作図された角と等しいことをいう。

ＢからＥＦに直角なＢＡをひき、弧ＢＤ上に任意に点Ｃをとり、ＡＤ、ＤＣ、ＣＢを結びなさい。

そのとき、直線ＥＦはＢでＡＢＣＤと接し、ＢＡは接点から接線に直角にひかれているので、円ＡＢＣＤの中心はＢＡ上にある。命題�V．19

それゆえ、ＢＡは円ＡＢＣＤの直径である。それゆえ、半円内の角である角ＡＤＢは直角である。命題�V．31

それゆえ、残りの角ＢＡＤ、ＡＢＤの和は直角と等しい。命題�T．32

しかし、角ＡＢＦも直角なので、角ＡＢＦは角ＢＡＤ、ＡＢＤの和と等しい。

おのおのから角ＡＢＤをひきなさい。それゆえ、残りの角ＤＢＦは円の反対側の切片内の角ＢＡＤと等しい。

つぎに、ＡＢＣＤは円に内接する四角形で、対角の和は２直角と等しい。命題�V．22

しかし、角ＤＢＦ、ＤＢＥの和も２直角と等しいので、角ＤＢＦ、ＤＢＥの和は角ＢＡＤ、ＢＣＤの和と等しく、そのうちの角ＢＡＤは角ＤＢＦと等しいことが証明されていた。それゆえ、残りの角ＤＢＥは円の反対側の切片ＤＣＢ内の角ＤＣＢと等しい。

それゆえ、直線が円に接し、接点から円に対し円を切る直線がひかれるならば、それが接線となす角は円の反対側の切片内の角と等しい。

証明終了

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