命題１９
「直線が円に接し、接点から接線に直角に線分がひかれるならば、円の中心はそのようにひかれた線分上にあるであろう。」
点Ｃで円ＡＢＣと接する直線をＤＥとせよ。ＣからＤＥに直角にＣＡをひきなさい。
円の中心はＡＣ上にあることをいう。
そうではないと仮定して、可能ならば、中心をＦとし、ＣＦを結びなさい。
直線ＤＥは円ＡＢＣと接し、ＦＣは中心から接点を結ばれていたので、ＦＣはＤＥに垂直である。それゆえ、角ＦＣＥは直角である。命題Ⅲ．18
しかし、角ＡＣＥも直角なので、角ＦＣＥは角ＡＣＥと等しい。小さいほうが大きいほうと等しくなるが、不可能である。
それゆえ、Ｆは円ＡＢＣの中心ではない。
同様にして、ＡＣ上の点以外のどの点も中心ではないことが証明できる。
それゆえ、直線が円に接し、接点から接線に直角に線分がひかれるならば、円の中心はそのようにひかれた線分上にあるであろう。
証明終了