命題1６
４つの直線が比例しているならば、外項に囲まれた長方形は内項に囲まれた長方形と等しい。外項に囲まれた長方形が内項に囲まれた長方形と等しいならば、４つの直線は比例している。
４つの直線AB､CD、EとFを比例している、つまりABはCDに対し同じようにEはFに対するとする。
Fによる長方形ABはEによる長方形CDと等しいことを言う。
点AとCから直線ABとCDに対して直角にAGとCHを描き、そしてAGをFと等しく、そしてCHをEと等しく作る。propositionⅠ．１１、propositionⅠ．１
平行四辺形BGとDHを仕上げる。propositionⅠ．３１
それからABはCDに対し同じようにEはFに対するから、EがCHと等しく、そしてFがAGと等しいとき、それゆえにABはCDに対し同じようにCHはAGに対する。propositionⅤ．７
それゆえに平行四辺形BGとDHにおいて等しい角のまわりの辺はそれぞれ比例している。
しかし等しい角のまわりの辺がそれぞれ比例している対応する角の等しいそれらの平行四辺形は等しく、それゆえに平行四辺形BGは平行四辺形DHと等しい。propositionⅥ．１４
そして、AGがFと等しいために、BGはFによる長方形ABであり、EがCHと等しいために、DHはEによる長方形CDであり、それゆえにFによる長方形ABはEによる長方形CDと等しい。
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次に、Fによる長方形ABをEによる長方形CDと等しいとする。
４つの直線が比例している、つまりABがCDに対し同じようにEがFに対することをいう。
同じ結果で、Fによる長方形ABがEによる長方形CDと等しく、AGがFと等しいために、Fによる長方形AB はBGであり、EがCHと等しいために、Eによる長方形CDはDHであるから、それゆえにBGはDHと等しい。
そしてそれらは対応する角が等しい。しかし等しく、対応する角が等しい平行四辺形において等しい角のまわりの辺はそれぞれ比例している。propositionⅥ．１４
それゆえにABはCDに対し同じようにCHはAGに対する。propositionⅤ．７
しかしCHはEと等しく、そしてAGはFと等しく、それゆえにABはCDに対し同じようにEはFに対する。
それゆえに、４つの直線が比例しているならば、外項に囲まれた長方形は内項に囲まれた長方形と等しい。外項に囲まれた長方形が内項に囲まれた長方形と等しいならば、４つの直線は比例している。
証明終了