命題１７
もし３本の線分が比例するならば、そのとき、外項によって囲まれた長方形は中項による正方形と等しい。そして、外項によって囲まれた長方形が、中項による正方形と等しいならば、そのとき、３本の線分は比例する。
３本の線分AとBとCを比例するとし、つまり、AはBに対し、BはCに対するとせよ。
A,Cによって囲まれる長方形は、Bの上の正方形と等しいと主張する。
DをBと等しくする。propositionⅠ．３
そのとき、AはBに対し、BはCに対し、また、BはDに等しいので、それゆえに、AはBに対し、DはCに対する。propositionⅤ.７、propositionⅤ．１１
しかし、もし４本の線分が比例するならば、そのとき外項によって囲まれた長方形は内項によって囲まれた長方形と等しくなる。propositionⅥ．１６
それゆえに、AとCによって囲まれる長方形は、BとDによって囲まれる長方形に等しい。
しかし、BとDによって囲まれる長方形は、BはDに等しいのでBの上の正方形である。
それゆえに、AとCによって囲まれる長方形は、Bの上の正方形と等しい。
次に、AとCによって囲まれる長方形はBの上の正方形と等しいとせよ。
AはBに対し、BはCに対すると主張する。
同じ作図があれば、AとCによって囲まれる長方形は、Bの上の正方形と等しく、一方で、BとDは等しいので、Bの上の正方形はBとDによって囲まれる長方形と等しい。
それゆえに、AとCによって囲まれる長方形はBとDによって囲まれる長方形と等しい。
しかし、もし、外項によって囲まれる長方形は、内項によって囲まれる長方形に等しければ、そのとき、4線分は比例する。propositionⅥ．１６
それゆえに、AはBに対し、DはCに対する。
しかし、BはDに等しい。
それゆえに、AはBに対し、BはCに対する。
それゆえに、もし３本の線分が比例するならば、そのとき、外項によって囲まれた長方形は中項による正方形と等しい。そして、外項によって囲まれた長方形が、中項による正方形と等しいならば、そのとき、３本の線分は比例する。
証明終了