命題３１

　直角三角形において、直角に対する辺の上の図形は、直角を含んでいる辺の上に相似で、相似な位置に描かれた図形の和に等しい。

　ABCを角BACが直角である直角三角形とせよ。

　BCの上の図形はBAとACの上に相似で相似な位置に描かれた図形の和に等しいと主張する。

　垂線ADを描く。proposition�T．１２

　そのとき、直角三角形ABCにおいて、Aにおける直角から底辺BCにADが垂線として描かれたから、それゆえに、垂線に隣接した三角形DBAとDACは、ともに、全体ABCと互いに相似である。proposition�Y．１８

　そして、ABCはDBAに相似であるので、それゆえにBCはBAに対して、BAはBDに対する。definition�X．１

　そして、３線分が比例するので、第１は第３に対し、第１の上の図形は、第２の上の相似で相似な位置にある図形に対する。proposition�Y．１９cor

　それゆえに、BCはBDに対して、BCの上の図形はBAの上の相似で相似な位置にある図形に対する。

　同じ理由で、BCはCDに対し、BCの上の図形はCAの上の図形に対する。

　つまり、加えて、BCはBDとDCの和に対し、BCの上の図形はBAとACの上の相似で相似な位置にある図形の和に対する。proposition�X．２４

　しかし、BCはBDとDCの和と等しい。

　それゆえに、BCの上の図形はBAとACの上の相似で相似な位置にある図形の和に等しい。

　それゆえに、直角三角形において、直角に対する辺の上の図形は、直角を含んでいる辺の上に相似で、相似な位置に描かれた図形の和に等しい。

証明終了

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