命題１８
2つの相似な平面数の間に1つの比例中項があり、そしてその平面数は対応する辺が対応する辺に持つ比の2乗の比をその平面数に持つ。
AとBを2つの相似な平面数とし、数CとDをAの辺、EとFをBの辺とする。
さて、相似な平面数はそれらの辺に比例を持つ数であるから、それゆえにCはDに対し同じようにEはFに対する。definitionⅦ．２１
AとBの間に1つの比例中項があり、AはBに対してCがEに、またはDがFに、つまり対応する辺が対応する辺に持つ比の2乗の比を持つことをいう。
さてCはDに対し同じようにEはFに対するから、それゆえに、入れ替えてCはEに対し同じようにDはFに対する。propositionⅦ．１３
そして、Aは平面数であり、CとDはそれらの辺であるから、それゆえにDにCを掛けてAを作る。同じ理由でEにFを掛けてBを作る。
Gを作るためにDにEを掛ける。DにCを掛けてAを作り、Eを掛けてGを作るから、それゆえにCはEに対し同じようにAはGに対する。propositionⅦ．１７
しかしCはEに対し同じようにDはFに対し、それゆえにDはFに対し同じようにAはGに対する。再度、EにDを掛けてGを作り、Fを掛けてBを作るから、DはFに対し同じようにGはBに対する。propositionⅦ．１７
しかしDはFに対し同じようにAはGに対することは証明されていて、それゆえにAはGに対し同じようにGはBに対する。それゆえにA、G、Bは連続して比例している。
それゆえにAとBの間に1つの比例中項がある。
次にAはまたBに対応する辺が対応する辺に、つまり、CがEに、またはDがFに持つ比の2乗の比を持つことをいう。
A、G、Bは連続して比例しているから、AはBにAがGに持つ比の2乗の比を持つ。そしてAはGに対し同じようにCはEに対する。それゆえにAはまたBにCがEに、またはDがFに持つ比の2乗の比を持つ。definitionⅤ．９
それゆえに、2つの相似な平面数の間に1つの比例中項があり、そしてその平面数は対応する辺が対応する辺に持つ比の2乗の比をその平面数に持つ。
証明終了