命題１０
もし、単位から始まる任意個の数が連続して比例し、単位の後の数が平方数でなければ、単位から第３と１つおきの全ての数を除いて、どれも他の任意の平方数ではない。また、もし、単位の後の数が立方数でなければ、単位から第４と２つおきの全ての数を除いて、どれも他の任意の立方数ではない。
任意個の数A、B、C、D、E、Fが単位から始まり、連続して比例し、Aを単位の後の数で、平方数でないとせよ。
単位から第３と１つおきの数を除いて、どれも他の任意の平方数でないと主張する。
もし、可能ならば、Cを平方数とせよ。
しかし、Bもまた平方数である。
それゆえに、BとCは互いに対して、平方数が平方数に対してもつ比をもつ。propositionⅨ８
そして、BはCに対して、AはBに対する。
それゆえに、AとBは互いに対して、平方数が平方数に対してもつ比をもち、つまり、AとBは相似な平面数である。propositionⅧ２６converse
そして、Bは平面数である。
それゆえに、Aもまた平方数で、これは仮定に反する。
それゆえに、Cは平方数でない。
同様に、単位から第３と１つおきの全ての数を除いて、どれも他の任意の平方数ではないことを証明できる。
次に、Aを立方数でないせよ。
単位から第４と２つおきの数を除いて、どれも他の任意の立方数でないと主張する。
もし、可能ならば、Dを立方数とせよ。
単位から第４なので、Cもまた立方数である。
そして、CはDに対して、BはCに対する。
それゆえに、BはCに対して、立方数が立方数に対してもつ比をもつ。propositionⅨ８
そして、Cは立方数である。
それゆえに、Bもまた立方数である。propositionⅧ２５
そして、単位はAに対して、AはBに対し、また、単位はAを割り切り、その商はAの中の単位であるので、それゆえに、AもまたBを割り切り、その商はAの中の単位である。
それゆえに、Aはそれ自身をかけられて立方数Bを作る。
しかし、もし、１つの数がそれ自身をかけられて立方数を作るならば、そのとき、それは立方数である。
それゆえに、Aもまた立方数であり、仮定に反する。propositionⅨ６
それゆえに、Dは立方数でない。
同様に、単位から第４と２つおきの数をを除いて、どれも他の任意の立方数でないことを証明できる。
それゆえに、もし、単位から始まる任意個の数が連続して比例し、単位の後の数が平方数でなければ、単位から第３と１つおきの全ての数を除いて、どれも他の任意の平方数ではない。また、もし、単位の後の数が立方数でなければ、単位から第４と２つおきの全ての数を除いて、どれも他の任意の立方数ではない。