命題２０
素数は、任意に決められた素数の個数よりも多い。
A、B、Cを決められた素数とせよ。
A、B、Cより多く素数があると主張する。
A、B、Cによって割り切られる最小の数DEをとる。
DEに単位DFを加える。
そのとき、EFは素数か、そうでないかのどちらかである。
まず、EFが素数とする。
そのとき、素数A、B、C、EFがA、B、Cより多く見つけられた。
次に、EFが素数でないとする。
そのとき、EFはある素数によって割り切られる。propositionⅦ３１
EFを素数Gによって割り切られるとせよ。
GはABCのどれとも同じでないと主張する。
もし可能ならば、同じであるとせよ。
ABCはDEを割り切る。
それゆえに、GもまたDEを割り切る。
しかし、EFも割り切る。
それゆえに、Gは数であり、残りの単位DFを割り切り、これは不合理である。
それゆえに、GはABCのどれとも同じではない。
そして、仮定からGは素である。
それゆえに、素数ABCGが決められたABCの個数より多く見つけられた。
それゆえに、素数は、任意に決められた素数の個数よりも多い。