命題１９
3つの数が与えられたとき、それらに対して第４の比例を見つけることが可能であるか調査すること。
A、B、Cを3つの与えられた数とし、それらに対して第４の比例を見つけることが可能であるか調査することを必要とする。
さてそれらは連続して比例していなくて外項が互いに素であるか、連続して比例していて外項が互いに素でないか、連続して比例していなくて外項が互いに素でないか、連続して比例していて外項が互いに素であるかのどれかである。
A、B、Cが連続して比例していて、それらの外項AとCが互いに素であるならば、それらに対して第４の比例を見つけることは不可能であることは証明されている。propositionⅨ．１７
次に、A、B、Cを連続して比例していないとし、外項は互いに素であるとする。
この場合においてもまた第４の比例を見つけることが不可能であることをいう。
可能ならば、Dを見つけられるとする。つまりAはBに対し同じようにCはDに対する。そしてBはCに対し同じようにDはEに対するとする。
さて、AはBに対し同じようにCはDに対し、そしてBはCに対し同じようにDはEに対するから、それゆえに、等間隔比で、AはCに対し同じようにCはEに対する。propositionⅦ．１４
しかしAとCは素であり、素である数はまた最小であり、最小数は同じ比を持つ数を割り切り、前項は前項を、後項は後項を割り切る。propositionⅦ．２１、propositionⅦ．２０
それゆえに前項が前項を割り切るようにAはCを割り切る。
しかしAはまたAを割り切り、それゆえにAは、不可能である、互いに素であるAとCを割り切る。
それゆえにA、B、Cに対して第４の比例を見つけることは不可能である。
次に、A、B、Cを連続して比例しているとし、AとCが互いに素でないとする。
それらに対して第４の比例を見つけることが可能であることをいう。
BにCを掛けてDを作るとする。それゆえにAはDを割り切るか割り切らないかのどちらかである。
最初に、AはDをEにより割り切るとする。それゆえにAにEを掛けてDを作る。
しかし、さらに、BにCを掛けてもDを作っている。それゆえにAとEの積はBとCの積と等しい。それゆえに、比例して、AはBに対し同じようにCはEに対する。それゆえにEはA、B、Cに対して第４の比例である。propositionⅦ．１９
次にAはDを割り切らないとする。A、B、Cに対して第４の比例を見つけることが不可能であることをいう。
可能ならば、Eを見つけられたとする。それゆえにAとEの積はBとCの積と等しい。propositionⅦ．１９
しかしBとCの積はDであり、それゆえにAとEの積はまたDと等しい。
それゆえにAにEを掛けてDを作り、それゆえにAはDをEにより割り切る。つまりAはDを割り切る。
しかしAはDを割り切らないから、不合理である。
それゆえにAがDを割り切らないときA、B、Cに対して第４の比例を見つけることは不可能である。
次にA、B、Cを連続して比例していないとし、外項が互いに素でないとする。
BにCを掛けてDを作る。
同じようにAがDを割り切るならば、それらに対して第４の比例を見つけることは可能であり、AがDを割り切らないならば不可能であることを証明できる。
証明終了