命題４０
「等しい底辺上にあり同じ側にある等しい三角形はまた同じ平行線の間にある。」
等しい底辺ＢＣ、ＣＥ上にあり同じ側にある等しい三角形をＡＢＣ、ＣＤＥとせよ。
それらはまた同じ平行線の間にあることをいう。
ＡＤを結びなさい。ＡＤはＢＥと平行であることをいう。
もしそうでなければ、点Ａを通り、ＢＥと平行なＡＦをひき、ＦＥを結びなさい。命題Ⅰ．31
それゆえ、三角形ＡＢＣは三角形ＦＣＥと等しい。なぜなら、それらは等しい底辺ＢＣ、ＣＥ上にあり同じ平行線ＢＥ、ＡＦの間にある。命題Ⅰ．38
しかし、三角形ＡＢＣは三角形ＤＣＥと等しいので、三角形ＤＣＥも三角形ＦＣＥと等しい。大きいほうが小さいほうと等しいが、不可能である。それゆえ、ＡＦはＢＥと平行ではない。共通概念Ⅰ．１
同様にして、ＡＤ以外のどの直線もそうでないことを証明することができる。それゆえ、ＡＤはＢＥと等しい。
それゆえ、等しい底辺上にあり同じ側にある等しい三角形はまた同じ平行線の間にある。
証明終了