命題４２
「与えられた直線角の中に与えられた三角形と等しい平行四辺形を作図すること」
与えられた三角形をＡＢＣ，与えられた直線角をＤとせよ。
直線角Ｄの中に三角形ＡＢＣと等しい平行四辺形を作図することが要求されている。
ＥでＢＣを２等分し、ＡＥを結びなさい。点Ｅにおいて線分ＥＣ上に角Ｄと等しい角ＣＥＦを作図しなさい。点Ａを通り、ＥＣと平行なＡＧをひき、点Ｃを通り、ＥＦと平行なＣＧをひきなさい。命題Ⅰ．23，命題Ⅰ．31
そのとき、ＦＥＣＧは平行四辺形である。
ＢＥはＥＣと等しいので、三角形ＡＢＥも三角形ＡＥＣと等しい。なぜなら、それらは等しい底辺ＢＥ、ＥＣ上にあり同じ平行線ＢＣ、ＡＧの間にある。それゆえ、三角形ＡＢＣは三角形ＡＥＣの２倍である。命題Ⅰ．39
しかし、平行四辺形ＦＥＣＧも三角形ＡＥＣの２倍である。なぜなら、それはそれと同じ底辺をもち、同じ平行線の間にあるので、平行四辺形ＦＥＣＧは三角形ＡＢＣと等しい。命題Ⅰ．41
そして、それは与えられた角Ｄと等しい角ＣＥＦをもつ。
それゆえ、平行四辺形ＦＥＣＧは角Ｄと等しい角ＣＥＦの中に与えられた三角形ＡＢＣと等しく作図されている。
作業終了