命題５

「二等辺三角形で底辺の上にある角は互いに等しい。そして等しい直線が延長されるならば、底辺の下にある角は互いに等しい。」

辺ＡＢが辺ＡＣと等しい二等辺三角形をＡＢＣとし、ＡＢとＡＣを延長される直線をＢＤとＣＥとせよ。定義�T．20，公準�T．２

角ＡＢＣは角ＡＣＢと等しく、角ＣＢＤは角ＢＣＥと等しいことをいう。

ＢＤに任意の点Ｆをとりなさい。大きいＡＥから小さいＡＦに等しいＡＧを切り取りなさい。命題�T．３

そしてＦＣとＧＢを結びなさい。公準�T．１

ＡＦはＡＧと等しくＡＢがＡＣと等しいので、それゆえ２辺ＦＡ、ＡＣが２辺ＧＡ、ＡＢとそれぞれ等しい。そしてそれらは共通の角、角ＦＡＧをはさんでいる。

それゆえ、底辺ＦＣが底辺ＧＢと等しく、三角形ＡＦＣは三角形ＡＧＢと等しく、残りの角は残りの角とそれぞれ等しい。すなわち、等しい辺に対する角は等しい。つまり、角ＡＣＦは角ＡＢＧと等しく、角ＡＦＣは角ＡＧＢと等しい。命題�T．４

ＡＦ全体がＡＧ全体と等しくＡＢはＡＣと等しいので、それゆえ、残りのＢＦは残りのＣＧと等しい。共通概念�T．３

しかし、ＦＣもまたＧＢと等しいことが証明されている。それゆえ、２辺ＢＦ、ＦＣが２辺ＣＧ、ＧＢとそれぞれ等しい。また、角ＢＦＣは角ＣＧＢと等しく、底辺ＢＣ全体は共通である。それゆえ三角形ＢＦＣもまた三角形ＣＧＢと等しく、残りの角も残りの角とそれぞれ等しい。すなわち、等しい辺に対する角は等しい。それゆえ、角ＦＢＣは角ＧＣＢと等しく、角ＢＣＦは角ＣＢＧと等しい。命題�T．４

それに応じて、角ＡＢＣ全体は角ＡＣＦと等しいことが証明されていて、角ＣＢＧは角ＢＣＦと等しいので、残りの角ＡＢＣは残りの角ＡＣＢと等しく、それらは三角形ＡＢＣの底角である。共通概念�T．３

しかし、角ＦＢＣも角ＧＣＢと等しいことが証明されていて、それらは底辺の下にある。

それゆえ、二等辺三角形で底辺の上にある角は互いに等しい。そして等しい直線が延長されるならば、底辺の下にある角は互いに等しい。

証明終了

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