命題40

平方において通約可能な2つの直線があり， それぞれの直線でできた正方形の和が中項面積で， 2つの直線でできた長方形が有理面積であるとき，
これらの2直線がたされるならば，この線分全体は無理線分であり，
そして，中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺と呼ばれる。

平方において通約可能で，与えられた条件を満たす2つの直線をAB,BCとし， これらを加えるとする。 �].34

ACが無理線分である事を示す。

ABでできた正方形とBCでできた正方形の和は中項面積なので AB,BCでできた長方形に2倍は有理で，
ゆえに，ABでできた正方形とBCでできた正方形の 和はAB,BCでできた長方形の2倍と通約不可能である。

すなわち，ACでできた正方形は AB,BCでできた長方形の2倍と通約不可能である。 �].16

また，AB,BCでできた長方形の2倍は有理で， ゆえにACでできた正方形は無理である。

ゆえに，ACは無理である。

そして，それは，中項面積と有理面積の和に 等しい正方形の辺と呼ばれる。 �].Def.4

証明終了