命題56
ある有理線分と第三の二項線分を含む四角形があり,その四角形に等しい 正方形の辺は無理線分で,第二の二項線分と呼ばれる。
有理線分ABと第三の二項線分ADを含む四角形ABCDとする。
ADはEで二つの部分に分けられ,AEを大きい方とする。
四角形ACに等しい正方形の辺は無理線分で 第二の二項線分と呼ばれることを示す。
前と同様に作図する。
ADは第三の二項線分なので
ゆえにAEとEDは平方においてのみ通約可能な有理線分で,
AE上の正方形はED上の正方形よりAEと通約可能な線分上の正方形だけ
大きく,
AEとEDはともにABと長さにおいて通約可能である。
Ⅹ.Def,Ⅱ.3
ADは第三の二項線分なのでゆえにAEとEDは平方においてのみ
通約可能な有理線分で,AE上の正方形はED上の正方形より
AEと通約可能な線分上の正方形だけ大きく,
AEとEDはともにABと長さにおいて通約可能である。
次に,それが第二の二項線分であることを示す。
DEはABすなわちEKと長さにおいて通約不可能であり,DEはEFと通約可能なので,
ゆえに，EFはEKと長さにおいて通約不可能。
Ⅹ.13
また,それらは有理で,ゆえにFEとEKは平方においてのみ通約可能な
有理線分である。
ゆえに，EL，すなわちMRは中項面積である。
Ⅹ.21
また，それはMNとNOを含む。
ゆえにMNとNOでできた長方形は中項である。
ゆえに，MOは第二の二項線分である。
Ⅹ.38
証明終了