命題21

平方だけにおいて通約可能な有理線分によって囲まれた長方形は， 無理面積であり，
その長方形と面積の等しい正方形の辺は，無理線分である。
これを，中項線分と呼ぶ。

長方形ACは平方だけにおいて 通約可能な有理線分AB,BCによって囲まれるとする。

ACは無理面積で，ACに等しい正方形の辺は無理線分であり，
これを中項線分とよぶことを示す。

AB上に正方形ADを描く。ADは有理面積である。 �].Def.4

仮定により，AB，BCは平方だけにおいて通約可能なので，
ABはBCと長さにおいて通約不可能である。

また，DBがBCに対するように，ADはACに対する。
ゆえに，DAはACと通約不可能である。 �Y.1 �].11

また，DAは有理面積である。 ゆえに，ACは無理面積である。

よって，ACと等しい面積の正方形の辺は無理線分である。 �].Def.4

これを中項線分と呼ぶ。

証明終了