命題１０
もし等辺の五角形が円に内接するなら、五角形の辺の上の正方形は同じ円に内接する六角形の辺と十角形の辺の上の正方形の和と等しい
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円
ABCDE とし，そして等辺の五角形 ABCDE を円 ABCDE に内接するとする.正角形
ABCDE の辺の正方形が,円 ABCDE に内接する六角形の辺と十角形の辺の上の正方形の和に等しいとする.円の中心Ｆをとって, AF を結び,そして点Ｇまで延長して,そして FB を結ぶ.Ｆから AB と垂直に交わる FH を引き、そしてＫと結ぶ.AK と KB を結び,Ｆから AK と垂直に交わる FL を引き,Ｍまで延長して,そして KN を結ぶ.弧ABCG は弧AEDG と等しく,そしてABCは AED と等しいから,そのために残りの弧 CG は弧GD と等しい.けれどもＣＤは五角形の辺である.そのためにCGは十角形の辺である.そして、 FA が FB と等しく, FH が垂直であるので,そのために角 AFK は角 KFB と等しい.それゆえに,弧AKは弧KBと等しい.そのために弧 AB は弧 BK の２倍である.そのために直線 AK は 十角形の辺である.同じ理由のために AK はKM の２倍である.弧ＣＤが弧ABと等しく,弧 AB が弧 BK の２倍であるので,そのために弧ＣＤは同じく弧BKの２倍である.けれども弧
CDは同じく弧CGの２倍である.そのため,弧CGは弧BKと等しい.けれども,KAとおなじように, BK は KM の２倍である.そのためにCGが同じくKM の２倍となる.けれども、弧 CB は同じく弧 BK の２倍である.なぜならば,弧 CB は 弧BA と等しいからである.そのために全体の弧 GB は BM の２倍となる.それゆえに,角 GFB は角 BFM の２倍である.けれども角 GFB は角 FAB の２倍である.なぜならば,角 FAB は角 ABF と等しいからである.そのために角 BFN は角 FAB と等しい.けれども角 ABF は２つの三角形ABF , BFN に共通である.そのために残っている角ＡＦＢは残っている角 BNF と等しい.そのために三角形ABF は三角形BFN は等角である.そのため,相似であるから,線分ABがBFに対するように, FB が BN に対する.そのために矩形ABNはBZ上の正方形と等しい.ALが LK と等しく,LNが共通でそれらに直角であるので,底辺KN は底辺AN と等しい.そのために角 LKN は同じく角 LAN と等しい.けれども角 LAN は角 KBN と等しい.そのために角 LKN は同じく角 KBNと等しい.そしてＡにおいての角は２つの三角形 AKB と AKN に共通である。そのために残っている角 AKB は残っている角 KNA と等しい.そのために三角形KBA は三角形KNA と等角である.そのために,相似であるから,線分BAがAKに対するように,KA が AN に対する.そのために,矩形BANはAK の上に正方形と等しい.けれども,矩形ABNもBF 上の正方形と同じく等しいと証明された.そのために,矩形ABNと矩形BANの和,すなわち、 BA の上の正方形は BF上の正方形 と AK の上に正方形の和と等しいといえる.そして BA は五角形の辺であり,、BFは六角形の辺であり,AKは十角形の辺である.したがって,もし等辺の五角形が円に内接するなら、五角形の辺の上の正方形は同じ円に内接する六角形の辺と十角形の辺の上の正方形の和と等しい.証明終了