命題９
もし同じ円に内接する六角形の辺と十角形の辺がかかれたとき，直線全体は外中比に分けられ
,そしてそのより大きい部分は六角形の辺となる。
ABC
を円とし，BCを十角形の辺とし，CDを六角形の辺とする.そして，それらがひとつの直線になるようにする.直線 BD 全体が外中比に分けられ,そしてＣＤはそのより大きい部分となる。円の中心Ｅをとって,EB,EC,EDを結び,そして、BEがAまで延長されたとする. BC が 十角形の辺であるから,弧ACB が弧BCの五倍となる.そのために弧ACは弧CBの４倍となる。けれども、弧ACが弧CBに対するように，角 AEC が角 CEB に対する.そのために 角AECは角CEBの４倍となる。そして、角 EBC が角 ECB と等しいので,そのために角 AEC は角 ECB の２倍となる。そして、直線ＥＣはＣＤと等しい.なぜならば，それらはそれぞれ，正六角形の辺であるからである。そのために角 CED は同じく角 CDE と等しい。そのために角 ECB は角 EDC の２倍となる。けれども角AEC が角ECBの２倍であることが証明されている.そのために角AEC が角EDC の４倍となる.そして 角AEC が同じく角BEC が４倍であると証明された.そのために角 EDC は角 BEC と等しい。けれども角 EBD は２つの三角形BECとBEDの共通な角である.そのために残っている角BEDは残っている角 ECB と等しくなる.そのために三角形EBD は三角形EBCと角が等しい。そのために、相対的に DB が BEに対するように，EB が BC に対する.けれども EB はCDと等しい.そのために、BDがDCに対するように,DCがCBに対する.そして BD はDCより大きい.そのためにDCがCBより大きい.そのために直線 BD は外中比に分けられ,そしてDCはそのより大きい部分である。もし同じ円に内接する六角形の辺と十角形の辺がかかれたとき，直線全体は外中比に分けられ,そしてそのより大きい部分は六角形の辺となる。証明終了