命題７
「線分が任意に分けられるならば、全体の上の正方形と１つの部分の上の正方形の和は全体とこの部分によって囲まれている長方形の２倍と残りの部分の上の正方形の和と等しい。」
点Ｃで任意に分けられた線分をＡＢとせよ。
ＡＢ上の正方形とＢＣ上の正方形の和はＡＢ、ＢＣによって囲まれている長方形の２倍とＣＡ上の正方形の和と等しいことをいう。
ＡＢ上に正方形ＡＤＥＢをかき、作図されたとせよ。命題Ⅰ．46
そのとき、ＡＧはＧＥと等しいので、おのおのにＣＦを加えなさい。それゆえ、ＡＦ全体はＣＥ全体と等しい。命題Ⅰ．43
それゆえ、ＡＦとＣＥの和はＡＦの２倍である。
しかし、ＡＦとＣＥの和はグノーモーンＫＬＭと正方形ＣＦの和と等しい。それゆえ、グノーモーンＫＬＭと正方形ＣＦはＡＦの２倍である。
しかし、ＡＢ、ＢＣに囲まれている長方形の２倍もＡＦの２倍である。なぜなら、ＢＦはＢＣと等しい。それゆえ、グノーモーンＫＬＭと正方形ＣＦはＡＢ、ＡＢに囲まれている長方形の２倍である。
おのおのにＡＣ上の正方形と等しいＤＧを加えなさい。それゆえ、グノーモーンＫＬＭと正方形ＢＧとＧＤの和はＡＢ、ＢＣに囲まれている長方形の２倍とＡＣ上の正方形の和と等しい。
しかし、グノーモーンＫＬＭと正方形ＢＧとＧＤの和はＡＢとＢＣ上にかかれている正方形ＡＤＥＢ全体とＣＦの和と等しい。
それゆえ、ＡＢ上の正方形とＢＣ上の正方形の和はＡＢ、ＢＣによって囲まれている長方形の２倍とＣＡ上の正方形の和と等しい。
それゆえ、線分が任意に分けられるならば、全体の上の正方形と１つの部分の上の正方形の和は全体とこの部分によって囲まれている長方形の２倍と残りの部分の上の正方形の和と等しい。
証明終了