命題１
「与えられた円の中心を見つけること」
与えられた円をＡＢＣとせよ。
円ＡＢＣの中心を見つけることが要求されている。
円周上を通る任意の点から線分ＡＢをひき、点Ｄでそれを２等分しなさい。
ＤからＡＢに対して直角にＤＣをひきなさい。それをＥまで延長し、ＦでＣＥを２等分しなさい。
Ｆは円ＡＢＣの中心であることをいう。
それがそうならないと仮定して、可能ならば、中心をＧとせよ。ＧＡ、ＧＤ、ＧＢを結びなさい。
そのとき、ＡＤはＤＢと等しく、ＤＧは共通なので、２辺ＡＤ、ＤＧは２辺ＢＤ、ＤＧとそれぞれ等しい。そして、底辺ＧＡはＧＢと等しい。なぜなら、それらは半径である。それゆえ、角ＡＤＧは角ＧＤＢと等しい。命題Ⅰ．８
しかし、直線が直線の上に立っていて接角が互いに等しくさせるとき、等しい角のそれぞれは直角である。それゆえ、角ＧＤＢは直角である。定義Ⅰ．10
しかし、角ＦＤＢも直角なので、角ＦＤＢは角ＧＤＢと等しく、大きいほうは小さいほうと等しくなるが、不可能である。それゆえ、Ｇは円ＡＢＣの中心ではない。
同様にして、Ｆを除くどの点もそうならないことを証明することができる。
それゆえ、点Ｆは円ＡＢＣの中心である。
作業終了
系
このことから、円で直線が直線を直角に２等分するならば、円の中心は２等分線上にあることが明らかである。