命題１３
「円は内側で接しようと外側で接しようと、他の円と１つ以上の点で接しない。」
可能ならば、円ＡＢＤＣがまず内側で円ＥＢＦＤと１つ以上の点、すなわちＤ、Ｂで接するとせよ。
円ＡＢＤＣの中心Ｇと円ＥＢＦＤの中心Ｈをとりなさい。
それゆえ、ＧからＦまで結んだ線分はＢ、Ｄにおちる。命題Ⅲ．11
ＢＧＨＤのようになるとせよ。
そのとき、点Ｇは円ＡＢＤＣの中心で、ＢＧはＧＤと等しいので、ＢＧはＨＤより大きい。それゆえ、ＢＨはＨＤよりなお大きい。
また、点Ｈは円ＥＢＦＤの中心で、ＢＨはＨＤと等しい。しかし、ＢＨはＨＤよりなお大きいことも証明されていた。それは不可能である。
それゆえ、円は内側で他の円と１つ以上の点で接しない。
さらに、外側でもそうならないことをいう。
可能ならば、円ＡＣＫが円ＡＢＤＣと１つ以上の点、すなわちＡ、Ｃで接するとせよ。ＡＧを結びなさい。
そのとき、円ＡＢＤＣ、ＡＣＫのそれぞれの円周上で２点Ａ、Ｃが任意にとられるので、線分はそれぞれの円の内部におちる。しかし、それは円ＡＢＤＣの内部におち、ＡＣＫの外部におちた。それは不合理である。命題Ⅲ．２，定義Ⅲ．３
それゆえ、円は外側で他の円と１つ以上の点で接しない。
そして、それは内側でもそうならないことが証明されていた。
それゆえ、円は内側で接しようと外側で接しようと、他の円と１つ以上の点で接しない。
証明終了