命題１８
「直線が円に接し、線分が中心から接点に結ばれるならば、結ばれた線分は接線に垂直であろう。」
点Ｃで円ＡＢＣと接する直線をＤＥとせよ。円ＡＢＣの中心Ｆをとり、ＦからＣにＦＣを結びなさい。
ＦＣはＤＥに垂直であることをいう。
もしそうでないならば、ＦからＤＥに垂直なＦＧをひきなさい。
そのとき、角ＦＧＣは直角なので、角ＦＣＧは鋭角である。そして、大きい角に対する辺は大きいので、ＦＣはＦＧより大きい。命題Ⅰ．17，命題Ⅰ．19
しかし、ＦＣはＦＢと等しいので、ＦＢもＦＧより大きい。小さいほうが大きいほうより大きくなるが、不可能である。
それゆえ、ＦＧはＤＥに垂直ではない。
同様にして、ＦＣ以外のどの線分もそうならないことが証明できる。それゆえ、ＦＣはＤＥに垂直である。
それゆえ、直線が円に接し、線分が中心から接点に結ばれるならば、結ばれた線分は接線に垂直であろう。
証明終了