命題２０
「円で角が底辺として同じ弧をもつとき、中心角は円周角の２倍である。」
円をＡＢＣとし、中心角を角ＢＥＣとし、円周角を角ＢＡＣとせよ。そして、底辺として同じ弧ＢＣをもつとせよ。
角ＢＥＣは角ＢＡＣの２倍であることをいう。
ＡＥを結び、それをＦまで延長しなさい。
そのとき、ＥＡはＥＢと等しいので、角ＥＡＢも角ＥＢＡと等しい。それゆえ、角ＥＡＢとＥＢＡの和は角ＥＡＢの２倍である。命題Ⅰ．５
しかし、角ＢＥＦは角ＥＡＢとＥＢＡの和と等しいので、角ＢＥＦも角ＥＡＢの２倍である。命題Ⅰ．32
同様な理由で、角ＦＥＣも角ＥＡＣの２倍である。
それゆえ、角ＢＥＣ全体は角ＢＡＣ全体の２倍である。
もう一度線分が折り曲げられるとし、別の角が存在するとせよ。ＤＥを結び、それをＧまで延長しなさい。
同様にして、そのとき、角ＧＥＣが角ＥＤＣの２倍で、そのうちの角ＧＥＢは角ＥＤＢの２倍であることが証明できる。それゆえ、残りの角ＢＥＣは角ＢＤＣの２倍である。
それゆえ、円で角が底辺として同じ弧をもつとき、中心角は円周角の２倍である。
証明終了