命題２４
「等しい線分上にある円の相似な切片は互いに等しい。」
等しい線分ＡＢ、ＣＤ上にある円の切片をＡＥＢ、ＣＦＤとせよ。
切片ＡＥＢは切片ＣＦＤと等しいことをいう。
切片ＡＥＢがＣＦＤ上に重ねられ、点ＡがＣ上に、線分ＡＢがＣＤ上に置かれるならば、ＡＢはＣＤと等しいので、点Ｂは点Ｄと重ねられる。そして、ＡＢがＣＤと重ねられるので、切片ＡＥＢもＣＦＤと重ねられる。
なぜなら、線分ＡＢがＣＤと重ねられるが切片ＡＥＢがＣＦＤと重ねられないならば、その内部か外部におちるか、ＣＧＤのようにずれる。そして、円は２つ以上の点で円と交わるが、不可能である。命題Ⅲ．10
それゆえ、線分ＡＢがＣＤ上に重ねられるならば、切片ＡＥＢはまたＣＦＤと重ならないことはない。それゆえ、それは重ねられ、等しい。
それゆえ、等しい線分上にある円の相似な切片は互いに等しい。
証明終了