命題２５
「円の切片が与えられたとき、その切片を含む完全な円をかくこと」
与えられた円の切片をＡＢＣとせよ。
切片ＡＢＣを含む完全な円をかくことが要求されている。
ＤでＡＣを２等分し、点ＤからＡＣに直角にＤＢをひき、ＡＢを結びなさい。
そのとき、角ＡＢＤは角ＢＡＤより大きいか、等しいか、小さいかである。
まず、大きいほうをＡＢＤとせよ。線分ＢＡ上にその上の点Ａにおいて角ＡＢＤと等しい角ＢＡＥを作図しなさい。ＤＢをＥまで延長し、ＥＣを結びなさい。
そのとき、角ＡＢＥは角ＢＡＥと等しいので、線分ＥＢもＥＡと等しい。命題Ⅰ．６
そして、ＡＤはＤＣと等しく、ＤＥは共通なので、２辺ＡＤ、ＤＥは２辺ＣＤ、ＤＥとそれぞれ等しく、おのおのが直角なので、角ＡＤＥは角ＣＤＥと等しい。それゆえ、底辺ＡＥは底辺ＣＥと等しい。
しかし、ＡＥはＢＥと等しいことが証明されていた。それゆえ、ＢＥもＣＥと等しい。それゆえ、線分ＡＥ、ＥＢ、ＥＣは互いに等しい。
それゆえ、中心Ｅ、線分ＡＥ、ＥＢ、ＥＣのうちの１つを半径にもつ円がかかれるならば、残りの点も通り、完全な円がかかれる。
それゆえ、円の切片が与えられたとき、完全な円がかかれる。命題Ⅲ．９
そして、中心Ｅが外部にあるので、切片ＡＢＣは半円より小さいことが明らかである。
たとえ角ＡＢＤが角ＢＡＤと等しいとしても、ＡＤがＢＤ、ＤＣのそれぞれと等しいので、３線分ＤＡ、ＤＢ、ＤＣは互いに等しくなり、Ｄは完全な円の中心で、ＡＢＣは明らかに半円になるであろう。
しかし、角ＡＢＤが角ＢＡＤより小さく、線分ＢＡ上にその上の点Ａにおいて角ＡＢＤと等しい角を作図するならば、中心は切片ＡＢＣ内、ＤＢ上におち、切片ＡＢＣは明らかに半円より大きくなるであろう。
それゆえ、円の切片が与えられたとき、完全な円がかかれる。
作業終了