命題４
「円で中心を通らない２つの弦が互いに交わるならば、それらは互いに２等分しない。」
円をＡＢＣＤとせよ。そして、その円で中心を通らない２つの弦ＡＣ、ＢＤがＥで互いに交わるとせよ。
それらは互いに２等分しないことをいう。
もし可能ならば、ＡＥはＥＣと等しく、ＢＥはＥＤと等しいようにそれらを互いに２等分しなさい。円ＡＢＣＤの中心Ｆをとりなさい。ＦＥを結びなさい。命題Ⅲ．１
そのとき、中心を通る線分ＦＥは中心を通らない弦ＡＣを２等分するので、それはまた直角に切る。それゆえ、角ＦＥＡは直角である。命題Ⅲ．３
また、線分ＦＥは弦ＢＤを２等分するので、それはまた直角に切る。それゆえ、角ＦＥＢは直角である。命題Ⅲ．３
しかし、角ＦＥＡも直角であることが証明されていた。それゆえ、角ＦＥＡは角ＦＥＢと等しくなり、小さいほうが大きいほうと等しくなるが、不可能である。
それゆえ、ＡＣとＢＤは互いに等しくない。
それゆえ、円で中心を通らない２つの弦が互いに交わるならば、それらは互いに２等分しない。
証明終了