命題３

「円の中心を通る線分が中心を通らない弦を２等分するならば、それはまたそれを直角に切る。そして、それが直角に切るならば、それはまた２等分する。」

円ＡＢＣの中心を通る線分をＣＤとせよ。中心を通らない弦ＡＢを点Ｆで２等分しなさい。

それはまたそれを直角に切ることをいう。

円ＡＢＣの中心Ｅを取り、ＥＡ、ＥＢを結びなさい。

そのとき、ＡＦはＦＢと等しく、ＦＥは共通なので、２辺は２辺と等しく、底辺ＥＡは底辺ＥＢと等しいので、角ＡＦＥは角ＢＦＥと等しい。命題�T．８

しかし、、直線が直線の上に立っていて接角が互いに等しくさせるとき、等しい角のそれぞれは直角である。それゆえ、角ＡＦＥ、ＢＦＥのそれぞれは直角である。定義�T．10

それゆえ、中心を通るＣＤが中心を通らないＡＢを２等分するならば、それをまた直角に切る。

つぎに、ＣＤがＡＢを直角に切るとせよ。

それはまたそれを２等分する、つまりＡＦはＦＢと等しいことをいう。

同様な作図をして、ＥＡはＥＢと等しいので、角ＥＡＦも角ＥＢＦと等しい。命題�T．５

しかし、直角ＡＦＥは直角ＢＦＥと等しいので、ＥＡＦ、ＥＢＦは２つの角が２つの角と等しく１辺が１辺と等しい、すなわち等しい角に対する辺ＥＦを共有する２つの三角形である。それゆえ、残りの辺も残りの辺と等しい。命題�T．26

それゆえ、ＡＦはＦＢと等しい。

それゆえ、円の中心を通る線分が中心を通らない弦を２等分するならば、それはまたそれを直角に切る。そして、それが直角に切るならば、それはまた２等分する。

証明終了

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